Tập hợp \(S\) các giá trị nguyên thuộc khoảng \(\left( { – 2023;\;2023} \right)\) của tham số thực \(m\) sao cho phương trình \({\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 4} } \right).{\log _5}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 4} } \right) = {\log _m}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 4} } \right)\) có nghiệm \(x\) lớn hơn \(3\). Số phần tử của tập hợp \(S\) là

A. \(4044\).

B. \(2023\).

C. \(2022\).

D. \(2021\).

Lời giải:

Điều kiện xác định: \(x > \sqrt {{x^2} – 4} \)\( \Leftrightarrow x \ge 2\).

Đặt \(t = {\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 4} } \right)\) thì \(t’ = \frac{{1 – \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}}}{{x – \sqrt {{x^2} – 4} }}.\frac{1}{{\ln 2}}\)\( = \frac{{\sqrt {{x^2} – 4} – x}}{{\left( {x – \sqrt {{x^2} – 4} } \right)\sqrt {{x^2} – 4} }}.\frac{1}{{\ln 2}}\)\( = \frac{{ – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 4} .\ln 2}} < 0\)

Bảng biến thiên

Do \(x > 3\)\( \Rightarrow t < {\log _2}\left( {3 – \sqrt 5 } \right)\)\(\left( {x – \sqrt {{x^2} – 4} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} – 4} } \right) = 4 \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} – 4} = \frac{4}{{x – \sqrt {{x^2} – 4} }} = \frac{4}{{{2^t}}}\)

Phương trình trở thành \(t.{\log _5}{2^t} = {\log _m}\frac{4}{{{2^t}}}\)

\( \Leftrightarrow {t^2}.{\log _5}2 = (2 – t)\frac{1}{{{{\log }_2}m}} \Leftrightarrow {\log _5}2.{\log _2}m = \frac{{2 – t}}{{{t^2}}} \Leftrightarrow {\log _5}m = \frac{{2 – t}}{{{t^2}}}\)

\(g\left( t \right) = \frac{{2 – t}}{{{t^2}}} = \frac{2}{{{t^2}}} – \frac{1}{t}\)

TXĐ: \(\left( { – \infty ;\;{{\log }_2}\left( {3 – \sqrt 5 } \right)} \right)\)

\(g’\left( t \right) = \frac{1}{{{t^2}}} – \frac{4}{{{t^3}}}\)

\(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{t – 4}}{{{t^3}}} = 0 \Leftrightarrow t = 4\)

Bảng biến thiên

có nghiệm khi và chỉ khi \(0 < {\log _5}m < \frac{{2 – {{\log }_2}\left( {3 – \sqrt 5 } \right)}}{{{{\log }_2}^2\left( {3 – \sqrt 5 } \right)}}\)\( \Leftrightarrow 1 < m < {1,15.10^{11}}\)

Do \(m \in \mathbb{Z},\;m \in \left( { – 2023;\;2023} \right) \Rightarrow m \in \left\{ {2;\;…;\;2022} \right\}\)

Vậy tập hợp \(S\) có \(2021\) phần tử.