📌 Đề bài (Câu 7 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có hệ số $a > 0, d > 0$ và đạt cực trị tại 2 điểm dương. Khi đó dấu của các hệ số là:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
Ta có: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d \implies y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
Bước 2: Sử dụng điều kiện 2 điểm cực trị dương.
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $0 < x_1 < x_2$. Khi đó phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt.
Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc hai $3ax^2 + 2bx + c = 0$:
- Tổng hai nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -\dfrac{2b}{3a} > 0$. Vì đề bài cho $a > 0 \implies -2b > 0 \implies b < 0$.
- Tích hai nghiệm: $P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{3a} > 0$. Vì $a > 0 \implies c > 0$.
Bước 3: Kết luận dấu các hệ số.
Kết hợp với giả thiết $a > 0, d > 0$, ta có: $a > 0, b < 0, c > 0, d > 0$.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Để xét dấu các hệ số $a, b, c, d$ của đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta thực hiện theo các bước chuẩn:
- Dấu của $a$: Dựa vào chiều của nhánh vô cùng bên phải ($\lim_{x \to +\infty} y$). Nhánh đi lên $\implies a > 0$; nhánh đi xuống $\implies a < 0$.
- Dấu của $d$: Giao điểm của đồ thị với trục tung $Oy$ tại điểm $(0; d)$. Nằm phía trên trục hoành $\implies d > 0$; nằm phía dưới $\implies d < 0$.
- Dấu của $b$: Sử dụng hoành độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba (điểm uốn) $x_I = -\dfrac{b}{3a} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. Nếu điểm uốn nằm bên phải trục tung ($x_I > 0$) thì $a, b$ trái dấu.
- Dấu của $c$: Dựa vào tích 2 điểm cực trị $x_1 x_2 = \dfrac{c}{3a}$ hoặc xét tiếp tuyến tại giao điểm $Oy$ ($y'(0) = c$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có $a < 0, d < 0$ và đạt cực trị tại 2 điểm phân biệt đều có hoành độ âm ($x_1 < x_2 < 0$). Khi đó dấu của hệ số $b$ và $c$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = 3ax^2 + 2bx + c = 0$. Vì $x_1, x_2 < 0$ nên:
- $x_1 + x_2 = -\dfrac{2b}{3a} < 0 \implies \dfrac{b}{a} > 0 \implies b < 0$ (do $a < 0$).
- $x_1 x_2 = \dfrac{c}{3a} > 0 \implies c < 0$ (do $a < 0$).
👉 Chọn đáp án A.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có $a > 0, d < 0$ và đạt cực trị tại 2 điểm phân biệt $x_1, x_2$ nằm về 2 phía của trục tung ($x_1 < 0 < x_2$) thỏa mãn $|x_1| < x_2$. Dấu của $b$ và $c$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hai nghiệm trái dấu $x_1 < 0 < x_2 \implies x_1 x_2 = \dfrac{c}{3a} < 0 \implies c < 0$ (vì $a > 0$).
Do $|x_1| < x_2 \implies x_1 + x_2 > 0 \implies -\dfrac{2b}{3a} > 0 \implies b < 0$ (vì $a > 0$).
👉 Chọn đáp án A.
Bài tập 3: Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có điểm uốn nằm bên phải trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Biết $a > 0$ và đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía so với trục $Oy$. Khẳng định nào sau đây đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Giao điểm với trục tung có tung độ âm $\implies d < 0$.
– Hoành độ điểm uốn $x_I = -\dfrac{b}{3a} > 0 \implies b < 0$ (vì $a > 0$).
– Hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung $\implies x_1 x_2 < 0 \implies \dfrac{c}{3a} < 0 \implies c < 0$.
👉 Chọn đáp án A.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = x^3 + bx^2 + cx + d$ có hai điểm cực trị là $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$. Giá trị của biểu thức $T = b + c + d$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = 3x^2 + 2bx + c$.
Phương trình $y’ = 0$ có 2 nghiệm $x_1 = 1, x_2 = 3 \implies \begin{cases} 1 + 3 = -\dfrac{2b}{3} \implies b = -6 \\ 1 \cdot 3 = \dfrac{c}{3} \implies c = 9 \end{cases}$.
Đồ thị cắt trục tung tại $(0; 2) \implies d = 2$.
Vậy $T = b + c + d = -6 + 9 + 2 = 5$.
👉 Chọn đáp án A.
Bài tập 5: Đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có điểm cực đại $A(-1; 4)$ và điểm cực tiểu $B(1; 0)$. Khi đó, tích $P = a \cdot b \cdot c \cdot d$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1 = -1$ và $x_2 = 1$.
Theo Vi-ét cho phương trình đạo hàm: $x_1 + x_2 = 0 \implies -\dfrac{2b}{3a} = 0 \implies b = 0$.
Do $b = 0$ nên tích $P = a \cdot b \cdot c \cdot d = 0$. Xem thêm chuyên đề về giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành để nắm chắc kiến thức tương giao.
👉 Chọn đáp án A.
Để lại phản hồi