Biết \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}{\pi ^2} + c\pi \) (với \(a,\,b,\,c\) là các số tự nhiên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b + c\)bằng

Biết \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}{\pi ^2} + c\pi \) (với \(a,\,b,\,c\) là các số tự nhiên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b + c\)bằng

A. \(6\).

B. \(8\).

C. \(5\).

D. \(4\).

Lời giải:

Đặt \(I = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} \). Ta có:

\(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)\,{\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\cos 2x\,{\rm{d}}x} } \right] = \frac{1}{2}\left( {{I_1} + {I_2}} \right)\).

\({I_1} = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){\rm{d}}x} = \)\(\left. {\left( {\frac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^\pi = \frac{3}{2}{\pi ^2} + 2\pi \).

\({I_2} = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\cos 2x\,{\rm{d}}x} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3x + 2\\{\rm{d}}v = \cos 2x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 3\,{\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.\). Khi đó

\({I_2} = \left. {\frac{1}{2}\left( {3x + 2} \right)\sin 2x} \right|_0^\pi – \frac{3}{2}\int\limits_0^\pi {\sin 2x\,{\rm{d}}x} \)\( = 0 + \left. {\frac{3}{4}\left( {cos2x} \right)} \right|_0^\pi = 0\).

\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2}{\pi ^2} + 2\pi } \right) = \frac{3}{4}{\pi ^2} + \pi \).

Suy ra \(a = 3;b = 4;c = 1.\) Vậy \(a + b + c = 8.\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.