Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { – 2} \right) = – 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { – 2} \right) = – 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng

A. \(36 + 3m\).

B. \(36\).

C. \(38\).

D. \(30 + 3m\).

Lời giải:

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 5 + m = 3\)\( \Leftrightarrow m = – 2\).

Với \(x < 1\), ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {5 – 2x} \right){\rm{d}}x} = 5x – {x^2} + C\).

Theo bài, \(F\left( { – 2} \right) = – 10\)\( \Rightarrow 5.\left( { – 2} \right) – {\left( { – 2} \right)^2} + C = – 10\)\( \Leftrightarrow C = 4\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = 5x – {x^2} + 4\).

Suy ra \(F\left( 1 \right) = 8\).

Với \(x \ge 1\), ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {3{x^2} + 2x + m} \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {3{x^2} + 2x – 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} + {x^2} – 2x + D\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} – 2x + D\).

Ta có \(F\left( 1 \right) = 8 \Leftrightarrow D = 8\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} – 2x + 8\).

Vậy \(F\left( 3 \right) = {3^3} + {3^2} – 2.3 + 8 = 38\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.