Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).

A. \(P = 1\).

B. \(P = 4\).

C. \(P = 3\).

D. \(P = 2\).

Lời giải:

Cách 1:

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left[ {\cos x\left( {1 + \tan x} \right)} \right]}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {1 + \tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} } = A + B\).

\(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{ln}}\left( {\cos x} \right){\rm{d}}\left( {\tan x} \right)} = \left. {\left( {\ln \left( {\cos x} \right).\tan x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}{\rm{d}}x} \)

\( = \ln \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}x{\rm{d}}x} = – \frac{{\ln 2}}{2} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right){\rm{d}}x} = – \frac{{\ln 2}}{2} + \left. {\left( {\tan x – x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = – \frac{{\ln 2}}{2} + 1 – \frac{\pi }{4}\).

\(B = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {1 + \tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + \tan x} \right){\rm{d}}\left( {1 + \tan x} \right)} \)

\( = \left( {\ln \left( {1 + \tan x} \right).\left( {1 + \tan x} \right)} \right)_0^{\frac{\pi }{4}} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \tan x} \right).\frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 + \tan x}}{\rm{d}}x} \)\( = 2\ln 2 – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x} = 2\ln 2 – \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 2\ln 2 – 1\).

Khi đó \(I = A + B = – \frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\ln 2\) mà \(I = a\pi + b\ln 2\) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản nên \(a = – \frac{1}{4},\,\,b = \frac{3}{2}\).

Vậy \(P = 4a + 2b = – 1 + 3 = 2\).

Chọn đáp án

D.

Cách 2:

Đặt \(u = \ln \left( {\sin x + \cos x} \right) \Rightarrow {\rm{d}}u = \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x\)

\({\rm{d}}v = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x \Rightarrow v = \tan x + 1\)

Ta có \(I = \left. {\left[ {\ln \left( {\sin x + \cos x} \right).\left( {\tan x + 1} \right)} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\tan x + 1} \right).\frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \)

\( = 2\ln \sqrt 2 – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right){\rm{d}}x} = \ln 2 – \left. {\left( {x + \ln \left| {\cos x} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \ln 2 – \frac{\pi }{4} – \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} = – \frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\ln 2\)

Mà \(I = a\pi + b\ln 2\) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản nên \(a = – \frac{1}{4},\,\,b = \frac{3}{2}\).

Vậy \(P = 4a + 2b = – 1 + 3 = 2\).

Chọn đáp án

D.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.