Tích phân

Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} - 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào? A. \(\left( {1;2} \right)\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?

Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng A. \(20\). B. \(241\). C. \(48\). D. \(196\). Lời giải: Ta có: \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} … [Đọc thêm...] vềTính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng

Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng A. \(\frac{4}{3}\). B. \(16\). C. \(\frac{{26}}{3}\). D. \(8\). Lời giải: Cách 1: Gọi các điểm \(A,B,C,D\) như hình vẽ. Ta có \(\frac{{OB}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{OA}}{{DC}} = \frac{1}{5}\) mà \(OB + B{\rm{D}} = 4\) nên \(OB = … [Đọc thêm...] vềCho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng

Biết \(\int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{{2 + x}}{{2 - x}}} dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + b + C.\) A. \(P = - 3\). B. \(P = - 2\). C. \(P = 2\). D. \(P = 1\). Lời giải Đặt \(x = 2\cos 2t\) với \(t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\). Suy ra \({\rm{d}}x = - 4\sin 2t{\rm{d}}t.\) Khi \(x … [Đọc thêm...] vềBiết \(\int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{{2 + x}}{{2 – x}}} dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + b +

Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f'\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng A. \(15\). B. \(20\). C. \(25\). D. \(5\). Lời giải: Vì với mọi \(x \in … [Đọc thêm...] vềVới mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { - 2} \right) = - 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng A. \(36 + … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { – 2} \right) = – 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng

Tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng A. \(0\) . B. \(2\). C. \( - 1\). D. \(1\). Lời giải: Ta có \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| x \right|.dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| x \right|.dx} + \int\limits_0^1 {\left| x \right|.dx} = \int\limits_{ - 1}^0 { - x.dx} + \int\limits_0^1 {x.dx} = \left. { - \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + … [Đọc thêm...] vềTích phân \(\int\limits_{ – 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\). A. \(P = 1\). B. \(P = 4\). C. \(P = 3\). D. \(P = 2\). Lời giải: Cách 1: Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi … [Đọc thêm...] vềCho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng A. \(\sqrt {26} … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

Biết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab C.\) A. \(T = 24\). B. \(P = 12\). C. \(T = 30\). D. \(T = - 24\). Lời giải Đặt \(t = {x^4} \Rightarrow dt = 4{x^3}dx\). Khi \(x = 1\) thì \(t = 1\), … [Đọc thêm...] vềBiết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab