Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 - 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a - … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 – 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a – 3b + 2c\).
Tích phân
Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).
Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\). A. \(V = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}.\) B. \(V = \frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}.\) C. \(V = \frac{\pi }{6}{a^3}.\) D. \(V = \frac{\pi }{8}{a^3}.\) Lời … [Đọc thêm...] vềBên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} - 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào? A. \(\left( {1;2} \right)\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?
Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng
Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng A. \(20\). B. \(241\). C. \(48\). D. \(196\). Lời giải: Ta có: \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} … [Đọc thêm...] vềTính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng A. \(\frac{4}{3}\). B. \(16\). C. \(\frac{{26}}{3}\). D. \(8\). Lời giải: Cách 1: Gọi các điểm \(A,B,C,D\) như hình vẽ. Ta có \(\frac{{OB}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{OA}}{{DC}} = \frac{1}{5}\) mà \(OB + B{\rm{D}} = 4\) nên \(OB = … [Đọc thêm...] vềCho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng