Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$0$
$\dfrac{1}{2}$
$1$
$\dfrac{3}{2}$
Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)\bigg|_0^1 =f(1)-f(0)$.
Từ $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\rightarrow \left\{\begin{matrix}
2f(0)+3f(1)=1 & \\
2f(1)+3f(0)=0 &
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(0)=-\dfrac{2}{5} &\\f(1)=\dfrac{3}{5}&\end{matrix}\right.$
Vậy $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x=f(1)-f(0)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1$.
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $f(0)=f(1)=1$. Biết rằng $\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{e}^x\left[f(x)+f'(x)\right]\mathrm{d}x=a\mathrm{e}+b$. Tính $Q=a^{2018}+b^{2018}$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$Q=2^{2017}+1$
$Q=2$
$Q=0$
$Q=2^{2017}-1$
Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{e}^x\left[f(x)+f'(x)\right]\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\mathrm{e}^xf(x)\right]’\mathrm{\,d}x=\left[\mathrm{e}^xf(x)\right]\bigg|_0^1 =ef(1)-f(0)\overset{f(0)=f(1)=1}=\mathrm{e}-1$.\\
Suy ra $\begin{cases}a=1\\b=-1\end{cases} \rightarrow{}Q=a^{2018}+b^{2018}=1^{2018}+(-1)^{2018}=2$.
==============
Cho các hàm số $y=f(x), y=g(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 2]$ và thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_0^2 f'(x)g(x)\mathrm{\,d}x=2, \displaystyle\int\limits_0^2 f(x)g'(x)\mathrm{\,d}x=3$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^2 \left[f(x)g(x)\right]’\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=-1$
$I=1$
$I=5$
$I=6$
Lời Giải:
Ta có $I=\displaystyle\int\limits_0^2 \left[f(x)g(x)\right]’\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^2 \left[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\right]\mathrm{d}x$\\
$=\displaystyle\int\limits_0^2 f'(x)g(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_0^2 f(x)g'(x)\mathrm{\,d}x=2+3=5$.
==============
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0; +\infty)$ và thỏa $\displaystyle\int\limits_0^{x^2} f(t)\mathrm{\,d}t=x \cdot \sin \left(\pi x\right)$. Tính $f\left(\dfrac{1}{4}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{2}$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=1$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=1+\dfrac{\pi}{2}$
Lời Giải:
Từ $\displaystyle\int\limits_0^{x^2} f(t)\mathrm{\,d}t=x \cdot \sin \left(\pi x\right)$, đạo hàm hai vế ta được $2xf(x^2)=\sin \left(\pi x\right)+\pi x\cos \left(\pi x\right)$.\\
Cho $x=\dfrac{1}{2}$ ta được $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\sin \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{\pi}{2}=1\xrightarrow{}f\left(\dfrac{1}{4}\right)=1$.
==============
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; +\infty)$ với $a>0$ và thỏa $\displaystyle\int\limits_a^x \dfrac{f(t)}{t^2}\mathrm{\,d}t+6=2\sqrt{x}$ với mọi $x>a$. Tính $f(4)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(4)=2$
$f(4)=4$
$f(4)=8$
$f(4)=16$
Lời Giải:
Từ $\displaystyle\int\limits_a^x \dfrac{f(t)}{t^2}\mathrm{\,d}t+6=2\sqrt{x}$, đạo hàm hai vế ta được $\dfrac{f(x)}{x^2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.\\
Suy ra $f(x)=x\sqrt{x}\xrightarrow{}f(4)=4\sqrt{4}=8$.
Để lại một bình luận