Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 - \cos 3x} ,\) trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi \(D\) quay quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu? A. \(V = (\pi + \frac{1}{3})\pi \). B. \(V = \pi - \frac{1}{3}\). C. \(V = \pi + \frac{1}{3}\). D. \(V = (\pi - \frac{1}{3})\pi \). Lời … [Đọc thêm...] vềCho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 – \cos 3x} ,\) trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi \(D\) quay quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?
Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\), biết\(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị \(\int\limits_{ – 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 5;8} \right]\), biết \(f\left( { - 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị \(\int\limits_{ - 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là A. \( - 90\) . B. … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\), biết
\(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị \(\int\limits_{ – 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(3\) điểm có hoành độ lần lượt là \(a,b,c\left( {a < b < c} \right)\). Biết phần hình phẳng nằm phía trên trục \(Ox\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục \(Ox\) có diện tích là \({S_1} = 2\), phần hình phẳng nằm phía dưới trục \(Ox\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục \(Ox\) có diện tích là \({S_2} = 6\) (như hình vẽ). Tính \(I = \int\limits_a^c {f(x)d{\rm{x}}} \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(3\) điểm có hoành độ lần lượt là \(a,b,c\left( {a < b < c} \right)\). Biết phần hình phẳng nằm phía trên trục \(Ox\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục \(Ox\) có diện tích là \({S_1} = 2\), phần hình phẳng nằm phía dưới trục \(Ox\) giới hạn … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(3\) điểm có hoành độ lần lượt là \(a,b,c\left( {a < b < c} \right)\). Biết phần hình phẳng nằm phía trên trục \(Ox\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục \(Ox\) có diện tích là \({S_1} = 2\), phần hình phẳng nằm phía dưới trục \(Ox\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục \(Ox\) có diện tích là \({S_2} = 6\) (như hình vẽ). Tính \(I = \int\limits_a^c {f(x)d{\rm{x}}} \).
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\); \(y = – {x^2} + x\) và hai đường thẳng \(x = – 1\); \(x = 2\) (phần tô màu) bằng
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\); \(y = - {x^2} + x\) và hai đường thẳng \(x = - 1\); \(x = 2\) (phần tô màu) bằng A. \(\frac{8}{3}\). B. \(\frac{5}{{12}}\). C. \(\frac{{37}}{{12}}\). D. \(\frac{9}{4}\). Lời giải: Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^3} - 3{x^2} … [Đọc thêm...] vềDiện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\); \(y = – {x^2} + x\) và hai đường thẳng \(x = – 1\); \(x = 2\) (phần tô màu) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(f’\left( x \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là \(a,0,\,b,\,c\) \(\left( {a < 0 < b < c} \right)\) như hình vẽ.Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là \(a,0,\,b,\,c\) \(\left( {a < 0 < b < c} \right)\) như hình vẽ. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A.\(f\left( c \right) > … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(f’\left( x \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là \(a,0,\,b,\,c\) \(\left( {a < 0 < b < c} \right)\) như hình vẽ.
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b + c +d\)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} - \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b + c +d\) A. \(13\). B. \(10\). C. \(20\). D. \(18\). Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên … [Đọc thêm...] vềBiết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b + c +d\)
Cho đường tròn tâm O có đường kính bằng \(4\) và Elip có phương trình: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) . Diện tích \(S\) phần hình phẳng ở bên ngoài đường tròn và bên trong Elip gần với kết quả nào nhất trong \(4\) kết quả dưới đây?
Cho đường tròn tâm O có đường kính bằng \(4\) và Elip có phương trình: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) . Diện tích \(S\) phần hình phẳng ở bên ngoài đường tròn và bên trong Elip gần với kết quả nào nhất trong \(4\) kết quả dưới đây? A. \(3,14\). B. \(15,71\). C. \(20\). D. \(18,85\). Lời giải: Ta có : \(\frac{{{x^2}}}{{25}} … [Đọc thêm...] vềCho đường tròn tâm O có đường kính bằng \(4\) và Elip có phương trình: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) . Diện tích \(S\) phần hình phẳng ở bên ngoài đường tròn và bên trong Elip gần với kết quả nào nhất trong \(4\) kết quả dưới đây?
Cho hình \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2)\)và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục hoành là \(V = \left( { – \frac{a}{b}\sqrt 3 + \frac{c}{d}} \right)\pi \), trong đó \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) là các phân số tối giản. Tính \(P = a + b – c + d\).
Cho hình \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2)\)và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục hoành là \(V = \left( { - \frac{a}{b}\sqrt 3 + \frac{c}{d}} \right)\pi \), trong đó \(a,b,c,d \in … [Đọc thêm...] vềCho hình \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2)\)và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục hoành là \(V = \left( { – \frac{a}{b}\sqrt 3 + \frac{c}{d}} \right)\pi \), trong đó \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) là các phân số tối giản. Tính \(P = a + b – c + d\).
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { – \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f’\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \).
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \). A. \(I = 10\). B. \(I = - … [Đọc thêm...] vềCho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { – \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f’\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \).
Cho hàm số bậc ba \(f(x) = a{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} + cx + d\) và parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh nằm trên trục tung. Biết đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt là \( – 2;1;2\) và thỏa mãn \(AB = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).
Cho hàm số bậc ba \(f(x) = a{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + cx + d\) và parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh nằm trên trục tung. Biết đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt là \( - 2;1;2\) và thỏa mãn \(AB = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai … [Đọc thêm...] vềCho hàm số bậc ba \(f(x) = a{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} + cx + d\) và parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh nằm trên trục tung. Biết đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt là \( – 2;1;2\) và thỏa mãn \(AB = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).