Người ta tạo một lối đi xung quanh một sân chơi hình lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của lục giác và một đường cong kín $\left(L\right)$ (như hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc

Bài toán: Người ta tạo một lối đi xung quanh một sân chơi hình lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của lục giác và một đường cong kín $\left(L\right)$ (như hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của lục giác và tia $OM$ cắt $\left(L\right)$ tại điểm $N$ thì ta luôn có $MN=2\mathrm{\,\;m}$. Biết rằng $OA=8\mathrm{\,\;m}$. Diện tích của lối đi đó bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lòi giải Độ dài lục giác đều là $a=OA=8\mathrm{\,\;m}$ nên suy ra $S_{ABCDEF}=6\cdot \dfrac{a^{2}\sqrt {3} }{4}=6\cdot \dfrac{8^{2}\sqrt {3} }{4}=96\sqrt {3} \left(\mathrm{\,\;}\mathrm{\,m}^{2}\right)$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho tọa độ các đỉnh là $O\left(0;0\right),A\left(4\sqrt {3} ;-4\right),B\left(4\sqrt {3} ;4\right)$ và đơn vị trên mỗi hệ trục tọa độ là mét. Xét điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ (vì tính đối xứng ta sẽ nhân lên sáu lần kết quả này) Ta có: $M\left(4\sqrt {3} ;m\right)\in \left[AB\right],N\left(x;y\right)$, trong đó $-4\leq m\leq 4,x>4\sqrt {3} $, suy ra $ON=\sqrt {x^{2}+y^{2}} $ Khi đó: $OM=ON-MN=\sqrt {x^{2}+y^{2}} -2$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ lên trục hoành. Theo định lí Thales, ta có: $\dfrac{ON}{OM}=\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{NK}{MH}\Rightarrow \dfrac{x}{4\sqrt {3} }=\dfrac{\sqrt {x^{2}+y^{2}} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}} -2}=\dfrac{t}{t-2}$, đặt $t=\sqrt {x^{2}+y^{2}} $ Phương trình tương đương: $4\sqrt {3} t=x\left(t-2\right)\Leftrightarrow t\left(x-4\sqrt {3} \right)=2x\Leftrightarrow t=\dfrac{2x}{x-4\sqrt {3} }$ Mà $t=\sqrt {x^{2}+y^{2}} $ nên suy ra $\left(L\right):y=\pm \sqrt {t^{2}-x^{2}} =\pm \sqrt {\left(\dfrac{2x}{x-4\sqrt {3} }\right)^{2}-x^{2}} $ Khi đó: $OA:y=-\dfrac{x}{\sqrt {3} }\cap \left(L\right)=P\left(5\sqrt {3} ;-5\right)$ và $OB:y=\dfrac{x}{\sqrt {3} }\cap \left(L\right)=Q\left(5\sqrt {3} ;5\right)$. Và $\left(L\right)\cap Ox\Leftrightarrow \dfrac{2x}{x-4\sqrt {3} }=\pm x\Leftrightarrow x=2+4\sqrt {3} \Rightarrow \left(L\right)\cap Ox=R\left(2+4\sqrt {3} ;0\right)$. Ta có: . Diện tích của lối đi là: $\approx 103,903\approx 104\left(\mathrm{\,\;}\mathrm{\,m}^{2}\right)$