Cho khối nón đỉnh $S$ có đường cao bằng 2a. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh $S$ nhưng không chứa trục của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $A B=4 a$. Biết mặt phẳng $(P)$ tạo với đáy nón một góc $60^{\circ}$, thể tính của khối nón đã cho bằng

Cho khối nón đỉnh $S$ có đường cao bằng 2a. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh $S$ nhưng không chứa trục của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $A B=4 a$. Biết mặt phẳng $(P)$ tạo với đáy nón một góc $60^{\circ}$, thể tính của khối nón đã cho bằng
A. $\frac{32 \pi a^{3}}{9}$.
B. $32 \pi a^{3}$.
C. $\frac{32 \pi a^{3}}{3}$.
D. $\frac{64 \pi a^{3}}{9}$.

Lời giải.

Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy $\Rightarrow S O=2 a$.

Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $A B \Rightarrow H A=H B=$ $2 a$.

Ta có: $\triangle O A B$ cân tại $O \Rightarrow O H \perp A B$.

\(\begin{cases}AB \perp SO \\ AB \perp OH\end{cases}\)

\( \Rightarrow A B \perp(S O H) \Rightarrow A B \perp S H\).

• Góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ} \Rightarrow \widehat{S H O}=60^{\circ}$.

Xét tam giác $S O H$ vuông tại $O$ có: $O H=$ SO. $\cot \widehat{S H O}=2 a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3} a}{3}$.

Xét tam giác $O H A$ vuông tại $H$ có: $O A^{2}=O H^{2}+H A^{2}=\frac{4 a^{2}}{3}+4 a^{2}=\frac{16}{3} a^{2}$.

Vậy thể tích của khối nón bằng: $V=\frac{1}{3} \pi \frac{16}{3} a^{2} \cdot 2 a=\frac{32}{9} \pi a^{3}$

Q. Chọn đáp án (A)