Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 16\), \(\,\int\limits_0^2 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{{1814}}{{15}}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \frac{1}{3}\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),\,\,x = 1,\,\,x = 4\) và trục hoành.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 16\), \(\,\int\limits_0^2 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{{1814}}{{15}}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \frac{1}{3}\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),\,\,x = 1,\,\,x = 4\) và trục hoành.

A. \(S = \frac{{245}}{2}\).

B. \(S = \frac{{245}}{4}\).

C. \(S = \frac{{245}}{6}\).

D. \(S = \frac{{245}}{8}\).

Lời giải:

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow {\rm{d}}x = 2tdt\). Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 4 \Rightarrow t = 2\)

Suy ra \(\int\limits_0^4 {f\left( {\sqrt x } \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {t.f\left( t \right)dt} \)\( \Rightarrow 2\int\limits_0^2 {t.f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3} \Rightarrow \int\limits_0^2 {t.f\left( t \right)dt} = \frac{1}{6}\).

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {x.f\left( x \right)dx} = \frac{1}{6}\).

Xét tích phân \(\int\limits_0^2 {x.f\left( x \right)dx} \):

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)ta được:

\(\int\limits_0^2 {x.f\left( x \right)dx} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^2 – \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right)dx} \)\( = 2f(2) – \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right)dx} \)

\( = 32 – \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right)dx} \)

Suy ra \(\int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right)dx} = 32 – \frac{1}{6} = \frac{{191}}{6}\).

Ta có: \(\int\limits_0^2 {{x^4}} dx = \frac{{32}}{5}\).

Suy ra: \(\int\limits_0^2 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}dx – 4\int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right)dx} } + \int\limits_0^2 {{x^4}} dx = \frac{{1814}}{{15}} – 4.\frac{{191}}{6} + \frac{{32}}{5} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}dx – 2\int\limits_0^2 {{x^2}f’\left( x \right)dx} } + \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} dx = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {{{\left( {f’\left( x \right) – {x^2}} \right)}^2}} dx = 0\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) – {x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.