Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\)\(\forall x \in \mathbb{R}.\)Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\)\(\forall x \in \mathbb{R}.\)Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx.\)

A. \(\frac{5}{4}\).

B. \(\frac{3}{2}\).

C. \(\frac{1}{2}\).

D. \(2\).

Lời giải

Đặt: \(y = f\left( x \right) \Rightarrow x = {y^3} + y.\)

\( \Rightarrow dx = \left( {3{y^2} + 1} \right)dy.\)

Đổi cận: \(x = 0 \Leftrightarrow {y^3} + y = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)

\(x = 2 \Leftrightarrow {y^3} + y = 2 \Leftrightarrow y = 1.\)

Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {y\left( {3{y^2} + 1} \right)} dy = \int\limits_0^1 {\left( {3{y^3} + y} \right)} dy = \left. {\left( {\frac{3}{4}{y^4} + \frac{1}{2}{y^2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{5}{4}.\)

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024