Cho hình tròn tâm \(O\) có bán kính \(R = 2\) và hình vuông \(OABC\) có cạnh bằng \(4\) (như hình vẽ bên). Tính thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay khi quay mô hình bên xung quanh trục là đường thẳng \(OB.\)

Cho hình tròn tâm \(O\) có bán kính \(R = 2\) và hình vuông \(OABC\) có cạnh bằng \(4\) (như hình vẽ bên). Tính thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay khi quay mô hình bên xung quanh trục là đường thẳng \(OB.\)

A. \(V = \frac{{8\left( {3 + 4\sqrt 2 } \right)\pi }}{3}.\)

B. \(V = \frac{{8\left( {2 + 5\sqrt 2 } \right)\pi }}{3}.\)

C. \(V = \frac{{8\left( {3 + 5\sqrt 2 } \right)\pi }}{3}.\)

D. \(V = \frac{{32\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{3}.\)

Lời giải:

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc tọa độ trùng \(O,\) tia \(Ox\) có giá là \(OB\) và tia \(Oy\) song song \(AC\) (như hình vẽ).

Khi đó đường tròn \(\left( O \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 4\) và đường thẳng \(OA\) có phương trình \(y = x.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(OA\) và đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(\sqrt {4 – {x^2}} = x \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .\)

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay phần tô đen quanh \(Ox\) là:

\({V_1} = \pi \int\limits_0^{\sqrt 2 } {{x^2}dx} + \pi .\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {4 – {x^2}} \right)} = \frac{{2\sqrt 2 \pi }}{3} + \frac{{\left( {16 – 10\sqrt 2 } \right)\pi }}{3} = \frac{{\left( {16 – 8\sqrt 2 } \right)\pi }}{3}.\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay \(\left( O \right)\) quanh \(Ox\) là khối cầu có \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32}}{3}\pi .\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay \(OABC\) quanh \(Ox\) là (tổng của hai khối nón)

\({V_3} = 2 \times \left[ {\frac{1}{3}\pi .{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}.2\sqrt 2 } \right] = \frac{{32\sqrt 2 \pi }}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính: \(V = {V_2} + {V_3} – {V_1} = \frac{{16 + 40\sqrt 2 }}{3}\pi = \frac{{8\pi \left( {2 + 5\sqrt 2 } \right)}}{3}.\)

=========== Tương tự Câu 48 ỨNG DỤNG Tích Phân – THỂ TÍCH – Vận dụng CAO – Toán TK 2024