Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính \(40cm\) người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc \({60^0}\) để lấy một hình nêm (Xem hình minh họa dưới đây). Ký hiệu \(V\)là thể tích của nêm ( Hình 2). Tính \(V\)

Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính \(40cm\) người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc \({60^0}\) để lấy một hình nêm (Xem hình minh họa dưới đây). Ký hiệu \(V\)là thể tích của nêm ( Hình 2). Tính \(V\)

A. \(V = \frac{{400\sqrt 3 \pi }}{4}\left( {c{m^3}} \right)\).

B. \(V = 2250\left( {c{m^3}} \right)\).

C. \(V = 9237,6\left( {c{m^3}} \right)\).

D. \(V = \frac{{3200\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\).

Lời giải:

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình: \(y = \sqrt {{{20}^2} – {x^2}} ,x \in \left[ { – 20;20} \right]\).

Một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\)(cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\)) cắt hình nêm theo thiết diện là tam giác \(MNP\) vuông tại N có diện tích \(S\left( x \right)\). Khi đó, ta có

\(NP = y = \sqrt {400 – {x^2}} ,MN = NP.\tan {60^0} = y\sqrt 3 = \sqrt 3 .\sqrt {400 – {x^2}} \).

Khi đó \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {400 – {x^2}} \right)\).

Thể tích hình nêm là: \(V = \int\limits_{ – 20}^{20} {S\left( x \right)dx} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\int\limits_{ – 20}^{20} {\left( {400 – {x^2}} \right)dx = \frac{{32000\sqrt 3 }}{6} \simeq 9237,6\left( {c{m^3}} \right)} \).

Chú ý: ta sử dụng công thức tính thể tích hình nêm:

\(V = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha = \frac{2}{3}{.20^3}.\tan {60^0} = 9237,6\left( {c{m^3}} \right)\).

=========== Tương tự Câu 48 ỨNG DỤNG Tích Phân – THỂ TÍCH – Vận dụng CAO – Toán TK 2024