Để tính thể tích lọ gốm, người ta xấp xỉ nó bởi khối tròn xoay sinh bởi phần hình phẳng (phần gạch ngang) giới hạn bởi hai hàm bậc hai \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\)như hình vẽ. Biết tọa độ đỉnh của hai parabol là \(I\left( {0\,;\, – 7} \right)\), điểm \(A\left( { – 7\,;\, – 4,06} \right)\) thuộc đồ thị \(y = g\left( x \right)\) và điểm \(B\left( {15\,;\, – 2,5} \right)\) thuộc đồ thị \(y = f\left( x \right)\). Tính thể tích xấp xỉ của lọ gốm (làm tròn đến hàng đơn vị).

Để tính thể tích lọ gốm, người ta xấp xỉ nó bởi khối tròn xoay sinh bởi phần hình phẳng (phần gạch ngang) giới hạn bởi hai hàm bậc hai \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\)như hình vẽ. Biết tọa độ đỉnh của hai parabol là \(I\left( {0\,;\, – 7} \right)\), điểm \(A\left( { – 7\,;\, – 4,06} \right)\) thuộc đồ thị \(y = g\left( x \right)\) và điểm \(B\left( {15\,;\, – 2,5} \right)\) thuộc đồ thị \(y = f\left( x \right)\). Tính thể tích xấp xỉ của lọ gốm (làm tròn đến hàng đơn vị).

A.\(3355\)\(c{m^3}\)

B. \(3120\)\(c{m^3}\)

C. \(3580\)\(c{m^3}\)

D. \(3225\)\(c{m^3}\)

Lời giải:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\), vì đỉnh\(I\)và điểm\(B\)thuộc đồ thị\(y = f\left( x \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{{{b_1}}}{{{a_1}}} = 0\\{c_1} = – 7\\{a_1}.{\left( { – 7} \right)^2} – 7 = – 4,06\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 0,02\\{b_1} = 0\\{c_1} = – 7\end{array} \right.\), suy ra \(f\left( x \right) = 0,02.{x^2} – 7\)

Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\), vì đỉnh \(I\)và điểm \(A\)thuộc đồ thị \(y = g\left( x \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{{{b_2}}}{{{a_2}}} = 0\\{c_2} = – 7\\{a_2}{.15^2} – 7 = – 2,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = 0,06\\{b_2} = 0\\{c_2} = – 7\end{array} \right.\), suy ra \(g\left( x \right) = 0,06.{x^2} – 7\)

Thể tích khối tròn xoay khi đó bằng \(V = \pi \int\limits_{ – 7}^0 {{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}{\rm{dx}}} + \pi \int\limits_0^{15} {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}{\rm{dx}}} = \pi \int\limits_{ – 7}^0 {{{\left( {0,06.{x^2} – 7} \right)}^2}{\rm{dx}}} + \pi \int\limits_0^{15} {{{\left( {0,02.{x^2} – 7} \right)}^2}{\rm{dx}}} \)\( \approx 3355\)

Vậy thể tích của lọ gốm xấp xỉ \(3355\)\(c{m^3}\)

=========== Tương tự Câu 48 ỨNG DỤNG Tích Phân – THỂ TÍCH – Vận dụng CAO – Toán TK 2024