Người ta tạo ra mô hình trang trí trong công viên bằng cách dùng một tấm mica hình dạng là nửa Elip có độ dài trục lớn DB là 10dm, độ dài trục bé là 8dm, vẽ thêm nửa đường tròn tâm là trung điểm của trục lớn DB, bán kính bằng 3dm ở bên trong, xác định 2 điểm A và C trên mép Elip sao cho \(\widehat {AOB} = \widehat {COD} = {45^0}\) (hình vẽ). Sau đó cắt bỏ đi một phần Elip giới hạn bởi 2 đoạn OA, OC, và hai phần của hình tròn bên trong. Người ta đặt một trục quay vào DB rồi quay hai phần mica còn lại (được đánh dấu) xung quanh BD tạo thành mô hình trang trí dạng tròn xoay. Phần không gian mà mô hình đó chiếm chỗ có giá trị gần nhất bằng:

Người ta tạo ra mô hình trang trí trong công viên bằng cách dùng một tấm mica hình dạng là nửa Elip có độ dài trục lớn DB là 10dm, độ dài trục bé là 8dm, vẽ thêm nửa đường tròn tâm là trung điểm của trục lớn DB, bán kính bằng 3dm ở bên trong, xác định 2 điểm A và C trên mép Elip sao cho \(\widehat {AOB} = \widehat {COD} = {45^0}\) (hình vẽ). Sau đó cắt bỏ đi một phần Elip giới hạn bởi 2 đoạn OA, OC, và hai phần của hình tròn bên trong. Người ta đặt một trục quay vào DB rồi quay hai phần mica còn lại (được đánh dấu) xung quanh BD tạo thành mô hình trang trí dạng tròn xoay. Phần không gian mà mô hình đó chiếm chỗ có giá trị gần nhất bằng:

A. \(94,43\quad \left( {d{m^3}} \right)\).

B. \(91,94\quad \left( {d{m^3}} \right)\) (đồng).

C. \(93,14\quad \left( {d{m^3}} \right)\).

D. \(92,64\quad \left( {d{m^3}} \right)\)

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Theo kích thước của Elip và đường tròn ta suy ra \(B\left( {5;0} \right)\)

Khi đó phương trình nửa đường tròn là \(y = \sqrt {9 – {x^2}} \).

Phương trình nửa Elip là \(y = 4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{25}}} \).

Phương trình đường thắng \(OA\) là \(y = x\).

Xác định được tọa độ điểm \(A\left( {\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}};\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}} \right)\),

Phần trồng cỏ có diện tích được tính bằng công thức sau:

Ta có công thức \(V = 2\pi \left( {\int\limits_0^{\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}} {{{\left( x \right)}^2}dx + \int\limits_{\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}}^5 {{{\left( {4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{25}}} } \right)}^2}dx – \int\limits_0^{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} {{{\left( x \right)}^2}dx – .\int\limits_{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}^3 {\left( {9 – {x^2}} \right)dx} } } } } \right) \simeq 92,64\quad \left( {d{m^3}} \right)\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.