Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Người ra treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh \(M,\,\,N\)nằm trên Parabol và hai đỉnh \(P,\,\,Q\) nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho \(1\,\,{{\rm{m}}^2}\) cần số tiền mua hoa là \(200.000\) đồng, biết \(MN = 4\,\,{\rm{m}},\,\,MQ = 6\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?

A. \(3\,373\,400\)đồng.

B. \(3\,434\,300\)đồng.

C. \(3\,437\,300\)đồng.

D. \(3\,733\,300\)đồng.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Parabol đối xứng qua \(Oy\) nên có dạng \(\left( P \right):y = a{x^2} +

C.\) Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {4;\,0} \right)\) và \(N\left( {2;\,6} \right)\) nên \(\left( P \right):y = – \frac{1}{2}{x^2} + 8.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\) là

\(S = 2\int\limits_0^4 {\left( { – \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right)\,} {\rm{d}}x = \frac{{128}}{3}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

Diện tích phần trồng hoa là \(S = {S_1} – {S_{MNPQ}} = \frac{{128}}{3} – 24 = \frac{{56}}{3}\,\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)

Do đó số tiền cần dùng để mua hoa là \(\frac{{56}}{3}\, \times 200000 \approx 3733333,333\) đồng.