Cho hàm số $y=f(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+d,\left(a,b,c,d\in\mathbb{R},a\ne 0\right)$ có đồ thị $(C)$

Cho hàm số $y=f(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+d,\left(a,b,c,d\in\mathbb{R},a\ne 0\right)$ có đồ thị $(C)$. Biết rằng đồ thị $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số $y=f^{\prime}(x)$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $H$ giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành khi quay xung quanh trục $Ox$. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án: 65,4

Lời giải: Phương trình $f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt là $-1;1$
$\Rightarrow f^{\prime}(x)=k\left(x+1\right)\left(x-1\right)$.
Mà $f^{\prime}(0)=-3\Leftrightarrow k\cdot 1\cdot \left(-1\right)=-3\Leftrightarrow k=3$.
Do đó: $f^{\prime}(x)=3\left(x+1\right)\left(x-1\right)\Rightarrow f^{\prime}(x)=3x^2-3$.
$\Rightarrow f(x)=\displaystyle\int{f^{\prime}(x)\mathrm{d}x}=\displaystyle\int{\left(3x^2-3\right)\mathrm{d}x}=x^3-3x+C$.
Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm, nghĩa là đường thẳng $(d):y=4$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ âm.
$\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)=k_d\Leftrightarrow 3x_0^2-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} {x_0}=1\\ {x_0}=-1.\end{array}\right.$.\\ Vì $x_0$ âm, nên $x_0=-1$.\\ Ta có: $f\left(x_0\right)=4\Leftrightarrow{\left(-1\right)^3}-3\left(-1\right)+C=4\Leftrightarrow C=2$.\\ Do đó: $f(x)=x^3-3x+2$. Xét: $f(x)=0\Leftrightarrow{x^3}-3x+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=-2.\end{array}\right.$
Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi: $\left\{\begin{array}{l} y=f(x);y=0\\ x=1;x=-2.\end{array}\right.$
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $H$ quanh trục $Ox$ là
$V=\pi\displaystyle\int\limits_{-2}^1f^2(x)\mathrm{d}x=\dfrac{729}{35}\pi\approx65{,}4$.

—HẾT—