Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế

Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 9,8

Lời giải: Gọi parabol $(P_1)\colon y=f(x)$ có dạng $f(x)=a x^{2}+b x+c$. \\Parabol $y=f(x)$ nhận $O y$ làm trục đối xứng nên ta có $\dfrac{-b}{2 a}=0 \Leftrightarrow b=0$. \\Lại có đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua điểm $(0 ;-1)$ và điểm $(2 ; 0)$ nên $a=\dfrac{1}{4}$ và $c=-1$.
\\Vậy parabol $y=f(x)=\dfrac{1}{4} x^{2}-1$.
Tương tự, ta cũng có parabol $(P_2)\colon y=g(x)=-\dfrac{1}{4} x^{2}+2$.
\\ Phương trình hoành độ giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$ là
$\dfrac{1}{4} x^{2}-1=-\dfrac{1}{4} x^{2}+2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\sqrt{6}\\ x=-\sqrt{6}\end{array}\right..$
Khi đó, diện tích của logo là
$\begin{array}{l} S = \displaystyle\int\limits_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left[\left(-\dfrac{1}{4} x^{2}+2\right)-\left(\dfrac{1}{4} x^{2}-1\right)\right] \mathrm{d} x \\ = \displaystyle\int\limits_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\dfrac{1}{2} x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left(3 x-\dfrac{x^{3}}{6}\right)\bigg|_{-\sqrt{6}} ^{\sqrt{6}}=4 \sqrt{6} \approx 9{,}8\left(\text{dm}^{2}\right). \end{array}$