Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và nửa đường tròn $(C)$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình bên

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và nửa đường tròn $(C)$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $(C)$ có diện tích $S=\dfrac{\pi}{m}+\dfrac{1}{n}$ ($m,n$ nguyên dương). Giá trị biểu thức $P=m^2+n^2$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 13

Lời giải: Từ đồ thị ta có $(P)\colon y=x^2-2x+1$ và đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-1)^2+y^2=2\Rightarrow y=\sqrt{2-(x-1)^2}.$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(C)$ là $\sqrt{2-(x-1)^2}=x^2-2x+1\Rightarrow\left[\begin{array}{l} x=0\\ x=2.\end{array}\right.$
Hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $(C)$ có diện tích
$\begin{array}{l} S = \displaystyle\int\limits_0^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}-\left(x^2-2x+1\right)\right]\mathrm{d}x\\ = \displaystyle\int\limits_0^2\sqrt{2-(x-1)^2}\mathrm{d}x-\displaystyle\int\limits_0^2\left(x^2-2x+1\right)\mathrm{d}x = I-\dfrac{2}{3} \end{array}$ Với $I=\displaystyle\int\limits_0^2\sqrt{2-(x-1)^2}\mathrm{d}x$, đặt $x-1=\sqrt{2}\sin t\Rightarrow\mathrm{d}x=\sqrt{2}\cos t\mathrm{d}t$.
$\begin{array}{l} I = \displaystyle\int\limits_{\tfrac{-\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{2-2\sin^2t}\cdot\sqrt{2}\cos t\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{-\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}} 2\cos^2t\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{-\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}} (1+\cos 2t)\mathrm{d}t\\ = \left(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)\bigg|_{\tfrac{-\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\pi}{2}+1. \end{array}$
Suy ra $S=\dfrac{\pi}{2}+1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{3}$. Vậy $P=m^2+n^2=13$.