Gia đình ông An xây một cái chòi hình lục giác, trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình “chóp lục giác cong đều” có trần bằng gỗ như hình vẽ bên

Gia đình ông An xây một cái chòi hình lục giác, trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình “chóp lục giác cong đều” có trần bằng gỗ như hình vẽ bên. Đáy của $(H)$ là một hình lục giác đều có đường chéo chính là $6$ m. Chiều cao $SO=6$ m ($SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép $c_1$; $c_2$; $c_3$; $c_4$; $c_5$; $c_6$ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO$. Giả sử giao tuyến (nếu có) của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều và khi $(\alpha)$ khi qua trung điểm của $SO$ thì bát giác đều có cạnh $1$ m.
Tính thể tích phần không gian nằm bên trong mái chòi $(H)$ đó.

\par
Đáp án: 29,2

Lời giải:

Đặt tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua $3$
điểm có toạ độ lần lượt là $S(0;6)$, $B(1;3)$, $C(3;0)$ nên có phương trình là $y=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{7}{2}x+6$.
Theo hình vẽ ta có bán kính của bát giác là $BM$.
Suy ra $2y=x^2-7x+12\Rightarrow \left(x-\dfrac{7}{2} \right)^2=2y+\dfrac{1}{4}\Rightarrow \left|x-\dfrac{7}{2} \right|=\sqrt{2y+\dfrac{1}{4}}$.
Mà $x\in [0;3]$ suy ra $\dfrac{7}{2}-x=\sqrt{2y+\dfrac{1}{4}}$.
Nếu ta đặt $t=OM$ thì $BM=\dfrac{7}{2}-\sqrt{2t+\dfrac{1}{4}}$.
Khi đó diện tích của thiết diện lục giác là
$S(t)=6\cdot \dfrac{BM^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\left(\dfrac{7}{2}-\sqrt{2t+\dfrac{1}{4}} \right)^2 \text{ với } t\in [0;6].$
Vậy thể tích của mái chòi là
$V=\displaystyle\int\limits_{0}^{6} S(t)\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{0}^{6} \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\left(\dfrac{7}{2}-\sqrt{2t+\dfrac{1}{4}} \right)^2\mathrm{d}t=29{,}2$ $\left(\text{m}^3\right)$.