Một khối cầu có bán kính là $5$ (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3$ (dm) để làm một chiếc lu đựng nước

Một khối cầu có bán kính là $5$ (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3$ (dm) để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (quy tròn đến hàng đơn vị của decimét khối).

Đáp án: 415

Lời giải: Xét trên nửa trên trục $Ox$, ta có $x^2+y^2=25\Leftrightarrow y=\sqrt{25-x^2}$.
Khối cầu tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn $(C)\colon x^2+y^2=25$ nằm trên $Ox$, trục $Ox$ quanh quanh $Ox$.
Khi đó thể tích lu nước bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sqrt{25-x^2}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=-3$, $x=3$ quay quanh trục $Ox$.

Do đó
$\begin{array}{l} V=\pi \displaystyle\int\limits_{-3}^{3}y^2\mathrm{d}x=\pi \displaystyle\int\limits_{-3}^{3}(25-x^2)\mathrm{d}x=\pi\left.\left(25x-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_{-3}^3=132\pi\approx 415 \mathrm{dm}^3. \end{array}$