Mặt cắt một ngọn đồi, phần tô sọc, có dạng như như hình bên

Mặt cắt một ngọn đồi, phần tô sọc, có dạng như như hình bên. Chiều cao của ngọn đồi là $30$ m, chiều rộng phần đáy là $40$ m, khoảng cách từ chân đồi đến hình chiếu đỉnh đồi xuống mặt đất là $20$ m. Diện tích mặt cắt đó là bao nhiêu m$^2$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 675

Lời giải: Gắn hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Xác định đường cong là đồ thị của hàm số bậc ba $(C) \colon y=ax^3+bx^2+cx+d$.
$(C)$ đi qua $O(0;0) \Rightarrow d = 0$. {$(1)$}
$(C)$ đi qua $(30;0) \Rightarrow 27000a+900b+30c+d = 0$. {$(2)$}
$(C)$ đi qua $(20;40) \Rightarrow 8000a+400b+20c+d = 40$. {$(3)$}
$(C)$ có điểm cực tiểu là $O(0;0)$ nên $y^{\prime}(0) = 0 \Leftrightarrow c = 0$. {$(4)$}
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ suy ra $\left\{\begin{array}{l} a=-\dfrac{1}{100}\\ b=\dfrac{1}{3}\\ c=0\\ d=0.\end{array}\right.$
Suy ra $(C) \colon y = -\dfrac{1}{100}x^3 + \dfrac{1}{3}x^2$.
Diện tích mặt cắt ngọn đồi là $S = \displaystyle \int\limits_{0}^{30} \left[-\dfrac{1}{100}x^3 + \dfrac{1}{3}x^2\right] \mathrm{d}x = 675$ m$^2$.