Một người nông dân dùng cuộn lưới dài $120\text{ m}$ để rào một mảnh đất hình chữ nhật sát một bờ sông thẳng (phía bờ sông không rào) và chia thành hai mảnh bằng một vách ngăn vuông góc với bờ sông. Diện tích lớn nhất rào được bằng bao nhiêu mét vuông?

Gọi chiều rộng vuông góc với tường là $x$ ($0 < x < 40$). Chiều dài mảnh đất song song với tường là $y = 80 - 2x$.

Diện tích $S(x) = x(80 – 2x) = -2x^2 + 80x = -2(x – 20)^2 + 800 \le 800\text{ m}^2$. Dấu bằng xảy ra khi $x = 20$.

👉 Đáp số: 800

Gọi cạnh đáy hình vuông là $x\text{ (dm)}$, chiều cao là $h\text{ (dm)}$ ($x, h > 0$). Thể tích $V = x^2 h = 108 \Rightarrow h = \frac{108}{x^2}$.

Diện tích toàn phần của hộp không nắp gồm 1 đáy và 4 mặt bên:

$$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{432}{x} = x^2 + \frac{216}{x} + \frac{216}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{216}{x} \cdot \frac{216}{x}} = 3 \cdot 36 = 108\text{ dm}^2$$

Dấu bằng xảy ra khi $x^2 = \frac{216}{x} \Leftrightarrow x^3 = 216 \Leftrightarrow x = 6$.

👉 Đáp số: 108

Gọi $r$ và $h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của lon ($r, h > 0$).

Thể tích $V = \pi r^2 h = 54\pi \Rightarrow h = \frac{54}{r^2}$.

Diện tích toàn phần vỏ lon kín hai đầu: $S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{108\pi}{r} = 2\pi\left(r^2 + \frac{27}{r} + \frac{27}{r}\right)$.

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương: $r^2 + \frac{27}{r} + \frac{27}{r} \ge 3\sqrt[3]{r^2 \cdot \frac{27}{r} \cdot \frac{27}{r}} = 27$.

Dấu “=” xảy ra khi $r^2 = \frac{27}{r} \Leftrightarrow r^3 = 27 \Leftrightarrow r = 3\text{ cm}$.

👉 Đáp số: 3

Gọi cạnh hình vuông là $x$ ($0 < x < 10$). Chiều dài đoạn uốn hình vuông là $4x$.

Đoạn dây còn lại uốn thành hình tròn có chu vi $C = 40 – 4x \Rightarrow$ bán kính $R = \frac{40 – 4x}{2\pi} = \frac{20 – 2x}{\pi}$.

Tổng diện tích: $S(x) = x^2 + \pi R^2 = x^2 + \frac{(20 – 2x)^2}{\pi}$.

Đạo hàm: $S'(x) = 2x – \frac{4(20 – 2x)}{\pi} = 0 \Leftrightarrow 2\pi x – 80 + 8x = 0 \Leftrightarrow x(\pi + 4) = 40 \Leftrightarrow x = \frac{40}{\pi + 4}$.

Suy ra $a = 40$.

👉 Đáp số: 40

Gọi số lần giảm giá vé là $x$ ($x \ge 0$, đơn vị là $10$ nghìn đồng).

Giá vé mới là $400 – 10x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận trên một khách là $(400 – 10x) – 100 = 300 – 10x$.

Số lượng khách tham gia là $1000 + 50x$.

Tổng lợi nhuận: $P(x) = (300 – 10x)(1000 + 50x) = 500(30 – x)(20 + x) = 500(-x^2 + 10x + 600)$.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol: $x = -\frac{10}{2(-1)} = 5$.

Giá vé tối ưu là: $400 – 10 \cdot 5 = 350$ (nghìn đồng).

👉 Đáp số: 350