Một công ty muốn sản xuất các lon nước ngọt hình trụ có nắp với thể tích $54\pi\text{ cm}^3$. Bán kính đáy của lon nước ngọt bằng bao nhiêu xentimét để diện tích toàn phần của lon đạt giá trị nhỏ nhất?

Bước 1: Biểu diễn đại lượng theo biến số $r$.

Gọi bán kính đáy của lon nước ngọt là $r\text{ (cm)}$ với $r > 0$, và chiều cao của lon là $h\text{ (cm)}$.

Thể tích của lon hình trụ là: $$V = \pi r^2 h = 54\pi \implies h = \frac{54}{r^2}$$

Bước 2: Thiết lập hàm số diện tích toàn phần.

Diện tích toàn phần (lượng vật liệu nhôm làm lon) là: $$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{54}{r^2} = 2\pi \left(r^2 + \frac{54}{r}\right)$$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$.

Ta có đạo hàm của $S(r)$ theo $r$: $$S'(r) = 2\pi \left(2r – \frac{54}{r^2}\right) = 2\pi \left(\frac{2r^3 – 54}{r^2}\right)$$

Cho $S'(r) = 0 \iff 2r^3 – 54 = 0 \iff r^3 = 27 \iff r = 3\text{ (cm)}$.

Bước 4: Xét dấu và kết luận.

Với $r \in (0; 3)$ thì $S'(r) < 0$ (hàm số nghịch biến).

Với $r \in (3; +\infty)$ thì $S'(r) > 0$ (hàm số đồng biến).

Do đó hàm số $S(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r = 3\text{ cm}$. Khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất bằng $S(3) = 2\pi (3^2 + 18) = 54\pi\text{ cm}^2$.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 3