📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Từ một tấm tôn hình vuông cạnh $60\text{ cm}$, người thợ cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc, sau đó gập các mép lại tạo thành một chiếc hộp hình chữ nhật không có nắp. Chiếc hộp có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu lít? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị nếu có).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Bước 1: Xác định điều kiện của biến số hình học: Cạnh hình vuông cắt là $x$, do tấm tôn có cạnh $60\text{ cm}$ nên $0 < 2x < 60 \Leftrightarrow 0 < x < 30$.
- Bước 2: Thiết lập hàm số thể tích hình hộp chữ nhật theo biến $x$: $$V(x) = h \cdot S_{\text{đáy}} = x(60 – 2x)^2$$
- Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của $V(x)$ trên khoảng $(0; 30)$ bằng phương pháp đạo hàm hoặc bất đẳng thức AM-GM (Cauchy): $$V(x) = 4x(30 – x)^2 = 2 \cdot (2x)(30 – x)(30 – x) \le 2 \left( \frac{2x + (30 – x) + (30 – x)}{3} \right)^3$$
- Bước 4: Đổi đơn vị kết quả từ $\text{cm}^3$ sang lít ($1\text{ lít} = 1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3$).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định kích thước và điều kiện của hình hộp
Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt ở mỗi góc là $x\text{ (cm)}$.
Điều kiện hình học: $0 < 2x < 60 \Leftrightarrow 0 < x < 30$.
Khi gập lại, ta thu được chiếc hộp không có nắp với:
- Chiều cao của hộp là $h = x\text{ (cm)}$.
- Đáy là hình vuông có cạnh bằng $a = 60 – 2x\text{ (cm)}$.
Bước 2: Lập hàm số thể tích
Thể tích của chiếc hộp là:
$$V(x) = x(60 – 2x)^2 = x(3600 – 240x + 4x^2) = 4x^3 – 240x^2 + 3600x \quad (\text{cm}^3)$$Bước 3: Khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất
Lấy đạo hàm của $V(x)$ trên khoảng $(0; 30)$:
$$V'(x) = 12x^2 – 480x + 3600 = 12(x^2 – 40x + 300)$$ $$V'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 – 40x + 300 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 10 \quad (\text{nhận}) \\ x &= 30 \quad (\text{loại}) \end{aligned}\right.$$Bảng xét dấu đạo hàm:
- Với $x \in (0; 10)$ thì $V'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến.
- Với $x \in (10; 30)$ thì $V'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến.
Do đó, $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10\text{ cm}$.
Bước 4: Tính thể tích lớn nhất và đổi đơn vị
$$V_{\max} = V(10) = 10 \cdot (60 – 2 \cdot 10)^2 = 10 \cdot 40^2 = 16\,000\text{ cm}^3$$Đổi sang đơn vị lít:
$$16\,000\text{ cm}^3 = 16\text{ dm}^3 = 16\text{ lít}$$👉 Đáp số (kết quả điền số): 16
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $30\text{ cm}$, người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập lại để được một chiếc hộp không nắp. Thể tích lớn nhất của chiếc hộp này bằng bao nhiêu $\text{cm}^3$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi $x$ là cạnh hình vuông cắt ở bốn góc ($0 < x < 15$).
Thể tích hộp: $V(x) = x(30 – 2x)^2 = 4x(15 – x)^2$.
Đạo hàm: $V'(x) = (30 – 2x)^2 – 4x(30 – 2x) = (30 – 2x)(30 – 6x) = 0 \Rightarrow x = 5$ (do $0 < x < 15$).
Thể tích lớn nhất: $V(5) = 5 \cdot (30 – 10)^2 = 5 \cdot 400 = 2000\text{ cm}^3$.
👉 Đáp số: 2000
Bài tập 2: Một người muốn rào một khu đất hình chữ nhật có diện tích $450\text{ m}^2$ giáp bờ sông thẳng (phía bờ sông không cần rào). Tổng chiều dài lưới thép tối thiểu cần dùng để rào ba cạnh còn lại bằng bao nhiêu mét?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Gọi $x\text{ (m)}$ là chiều rộng vuông góc bờ sông ($x > 0$), cạnh song song với bờ sông là $y = \frac{450}{x}\text{ (m)}$.
Tổng chiều dài hàng rào: $L(x) = 2x + y = 2x + \frac{450}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $2x$ và $\frac{450}{x}$:
$$L(x) \ge 2\sqrt{2x \cdot \frac{450}{x}} = 2\sqrt{900} = 60\text{ m}$$Dấu “=” xảy ra khi $2x = \frac{450}{x} \Leftrightarrow x^2 = 225 \Leftrightarrow x = 15\text{ m}$.
👉 Đáp số: 60
Bài tập 3: Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $32\text{ m}^3$, đáy là hình vuông. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của bể chứa (gồm đáy và 4 mặt bên) bằng bao nhiêu $\text{m}^2$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$) và chiều cao là $h\text{ (m)}$.
Thể tích bể: $V = x^2 h = 32 \Rightarrow h = \frac{32}{x^2}$.
Diện tích các mặt cần xây: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x} = x^2 + \frac{64}{x} + \frac{64}{x}$.
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương:
$$S(x) \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{64}{x} \cdot \frac{64}{x}} = 3\sqrt[3]{64^2} = 3 \cdot 16 = 48\text{ m}^2$$Dấu đẳng thức xảy ra khi $x^2 = \frac{64}{x} \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4\text{ m}$.
👉 Đáp số: 48
Để lại phản hồi