Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $60\text{ cm}$, cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$ rồi gấp lại thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất

1. Thiết lập biểu thức thể tích:

Sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc, phần đáy còn lại của chiếc hộp là hình vuông có cạnh dài: $$a = 60 – 2x\text{ (cm)}$$

Điều kiện kích thước thực tế: $x > 0$ và $60 – 2x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 30$.

Chiều cao của chiếc hộp khi gấp lên là $h = x\text{ (cm)}$. Thể tích của khối hộp là: $$V(x) = (60 – 2x)^2 \cdot x = x(60 – 2x)^2\quad (\text{cm}^3)$$

2. Tìm giá trị lớn nhất:

Cách 1: Khảo sát hàm số bằng đạo hàm:

Ta khai triển hoặc lấy đạo hàm theo quy tắc tích: $$V(x) = x(3600 – 240x + 4x^2) = 4x^3 – 240x^2 + 3600x$$

Đạo hàm bậc nhất: $$V'(x) = 12x^2 – 480x + 3600 = 12(x^2 – 40x + 300) = 12(x – 10)(x – 30)$$

Giải phương trình $V'(x) = 0$ trên khoảng $(0; 30)$: $$V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10\quad (\text{thỏa mãn } 0 < x < 30)$$

Bảng biến thiên trên khoảng $(0; 30)$:

• Với $0 < x < 10$: $V'(x) > 0 \Rightarrow V(x)$ đồng biến.
• Với $10 < x < 30$: $V'(x) < 0 \Rightarrow V(x)$ nghịch biến.

Do đó, hàm số đạt giá trị cực đại và lớn nhất tại $x = 10\text{ cm}$.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM): $$V(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x(60 – 2x)(60 – 2x) \le \frac{1}{4} \left[ \frac{4x + (60 – 2x) + (60 – 2x)}{3} \right]^3 = \frac{1}{4} \left[ \frac{120}{3} \right]^3 = 16000$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $$4x = 60 – 2x \Leftrightarrow 6x = 60 \Leftrightarrow x = 10\text{ (cm)}$$

👉 Đáp số (kết quả điền số): 10