Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có diện tích $600\text{ m}^2$ và ngăn đôi thành hai phần bằng nhau bởi một hàng rào song song với một cạnh. Chiều dài tối thiểu của toàn bộ hàng rào cần dùng bằng bao nhiêu mét?

Bước 1: Chọn ẩn và thiết lập mối liên hệ

Gọi chiều rộng của khu đất (chiều dài của đường rào ngăn đôi) là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$).

Gọi chiều dài của khu đất là $y\text{ (m)}$ ($y > 0$).

Do diện tích khu đất bằng $600\text{ m}^2$ nên:

$$x \cdot y = 600 \implies y = \frac{600}{x}$$

Bước 2: Xây dựng hàm tổng chiều dài hàng rào

Hàng rào gồm có $3$ đoạn song song có độ dài $x$ (gồm hai cạnh biên và một hàng rào ngăn ở giữa) cùng với $2$ cạnh có độ dài $y$ (hai cạnh dài của hình chữ nhật). Do đó, tổng chiều dài toàn bộ hàng rào là:

$$L(x) = 3x + 2y = 3x + 2 \cdot \frac{600}{x} = 3x + \frac{1200}{x} \quad (x > 0)$$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $L(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$

Cách 1: Sử dụng đạo hàm

Ta có đạo hàm:

$$L'(x) = 3 – \frac{1200}{x^2}$$ $$L'(x) = 0 \iff 3x^2 = 1200 \iff x^2 = 400 \iff x = 20 \quad (\text{do } x > 0)$$

Bảng biến thiên:

• Với $0 < x < 20$ thì $L'(x) < 0 \implies$ hàm số nghịch biến.
• Với $x > 20$ thì $L'(x) > 0 \implies$ hàm số đồng biến.

Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 20$:

$$L_{\min} = L(20) = 3(20) + \frac{1200}{20} = 60 + 60 = 120\text{ (m)}$$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Vì $x > 0$ nên $3x > 0$ và $\frac{1200}{x} > 0$. Áp dụng BĐT Cauchy:

$$L(x) = 3x + \frac{1200}{x} \ge 2\sqrt{3x \cdot \frac{1200}{x}} = 2\sqrt{3600} = 2 \cdot 60 = 120\text{ (m)}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $3x = \frac{1200}{x} \iff x = 20\text{ (m)}$. Khi đó $y = \frac{600}{20} = 30\text{ (m)}$.

Vậy chiều dài tối thiểu của hàng rào là $120\text{ m}$.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 120