Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $50\text{ cm} \times 80\text{ cm}$, người ta cắt bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ rồi gấp lại thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ (tính theo $\text{cm}$) để thể tích khối hộp thu được là lớn nhất

1. Xác định kích thước của chiếc hộp sau khi gập:

• Chiều cao của hộp: $h = x\text{ (cm)}$.
• Chiều rộng của đáy hộp: $a = 50 – 2x\text{ (cm)}$.
• Chiều dài của đáy hộp: $b = 80 – 2x\text{ (cm)}$.

Điều kiện hình học của $x$: $\begin{cases} x > 0 \\ 50 – 2x > 0 \\ 80 – 2x > 0 \end{cases} \iff 0 < x < 25$.

2. Thiết lập hàm thể tích $V(x)$ của khối hộp:

$$V(x) = x(50 – 2x)(80 – 2x) = x \cdot 4(25 – x)(40 – x) = 4(x^3 – 65x^2 + 1000x)$$

3. Tìm giá trị lớn nhất của $V(x)$ trên khoảng $(0; 25)$:

Lấy đạo hàm bậc nhất của $V(x)$:

$$V'(x) = 4(3x^2 – 130x + 1000)$$

Cho $V'(x) = 0 \iff 3x^2 – 130x + 1000 = 0$.

Giải phương trình bậc hai:

$$\Delta’ = (-65)^2 – 3 \cdot 1000 = 4225 – 3000 = 1225 = 35^2$$

$$\implies \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{65 + 35}{3} = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}33 \quad (\text{loại do } x < 25) \\[8pt] x = \dfrac{65 – 35}{3} = 10 \quad (\text{thỏa mãn } 0 < x < 25) \end{array}\right.$$

4. Bảng biến thiên:

Vì $V'(x) > 0$ với mọi $x \in (0; 10)$ và $V'(x) < 0$ với mọi $x \in (10; 25)$ nên hàm số $V(x)$ đạt cực đại duy nhất tại điểm $x = 10$.

Khi đó, thể tích lớn nhất đạt được là:

$$V_{\max} = V(10) = 10 \cdot (50 – 20) \cdot (80 – 20) = 10 \cdot 30 \cdot 60 = 18000\text{ cm}^3 = 18\text{ lít}.$$