📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4}}$ có đồ thị là $(C)$. Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f(x)$ theo chương trình Toán 12, ta áp dụng định nghĩa giới hạn:
- Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$.
- Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.
- Lưu ý đối với hàm chứa căn thức bậc hai: Khi $x \to -\infty$, ta có $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. Do đó hệ số khi đưa ra ngoài dấu căn mang dấu âm, thường dẫn đến hai tiệm cận ngang khác nhau khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$. Dạng toán này rất thường gặp trong bộ đề ôn tập giữa học kỳ 1 Toán 12.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét mệnh đề a):
Điều kiện xác định của hàm số là biểu thức dưới mẫu và trong căn phải dương: $x^2 – 4 > 0 \iff x < -2 \text{ hoặc } x > 2$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. $\Rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG.
Xét mệnh đề b):
Ta xét các giới hạn một bên tại các điểm biên của tập xác định:
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4}} = \frac{2(2) – 1}{0^+} = +\infty$$
$$\lim_{x \to -2^-} \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4}} = \frac{2(-2) – 1}{0^+} = -\infty$$
Do đó, đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = -2$. $\Rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG.
Xét mệnh đề c):
Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$:
• Khi $x \to +\infty$ ($x > 0$ nên $\sqrt{x^2} = x$):
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(2 – \frac{1}{x}\right)}{x\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 – \frac{1}{x}}{\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}} = 2$$
Suy ra $y = 2$ là một đường tiệm cận ngang.
• Khi $x \to -\infty$ ($x < 0$ nên $\sqrt{x^2} = -x$):
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(2 – \frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 – \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}} = -2$$
Suy ra $y = -2$ là một đường tiệm cận ngang nữa. Tương tự như kỹ thuật giải trong bài toán Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x^2 – 3x + 2}$, ta thấy đồ thị có $2$ đường tiệm cận ngang $y = 2$ và $y = -2$. $\Rightarrow$ Mệnh đề c) SAI.
Xét mệnh đề d):
Đồ thị $(C)$ có $2$ tiệm cận đứng ($x = 2; x = -2$) và $2$ tiệm cận ngang ($y = 2; y = -2$). Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là $2 + 2 = 4$. $\Rightarrow$ Mệnh đề d) ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Bài tập 1: Cho hàm số nhất biến $y = \frac{2x – 3}{x + 1}$ có đồ thị $(C_1)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Mệnh đề a) Đúng vì $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$, suy ra $x = -1$ là tiệm cận đứng.
• Mệnh đề b) Sai vì $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2$, suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.
• Mệnh đề c) Đúng vì giao điểm hai đường tiệm cận $x = -1$ và $y = 2$ là $I(-1; 2)$.
• Mệnh đề d) Đúng vì tiệm cận ngang $y = 2 \iff y – 2 = 0$, khoảng cách từ $O(0;0)$ tới tiệm cận ngang là $|0 – 2| = 2$.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 1}$ có đồ thị $(C_2)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Ta có $y = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{x – 2}{x + 1}$ với mọi $x \ne 1$.
• Mệnh đề a) Đúng vì điều kiện mẫu khác 0 là $x^2 – 1 \ne 0 \iff x \ne \pm 1$.
• Mệnh đề b) Sai vì $\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x – 2}{x + 1} = -\frac{1}{2}$ (hữu hạn), chỉ có $x = -1$ là tiệm cận đứng (do $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$).
• Mệnh đề c) Đúng vì $\lim_{x \to \pm\infty} y = 1 \implies y = 1$ là tiệm cận ngang duy nhất.
• Mệnh đề d) Đúng vì đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng ($x = -1$) và 1 tiệm cận ngang ($y = 1$), tổng cộng là $2$.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x^2 – 1}$ có đồ thị $(C_3)$ (tham khảo dạng đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Mệnh đề a) Đúng: ĐK $x + 3 \ge 0$ và $x^2 – 1 \ne 0 \iff x \ge -3$ và $x \ne \pm 1$.
• Mệnh đề b) Đúng vì $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x^2 – 1} = 0 \implies y = 0$ là tiệm cận ngang.
• Mệnh đề c) Sai vì tại $x = 1$, ta có nhân liên hợp: $y = \frac{x – 1}{(x – 1)(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}$, khi đó $\lim_{x \to 1} y = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$ (hữu hạn), nên $x = 1$ không phải tiệm cận đứng.
• Mệnh đề d) Đúng vì tại $x = -1$, mẫu triệt tiêu về $0$ trong khi tử tiến tới $\frac{1}{4} \ne 0$, suy ra $\lim_{x \to -1} y = \infty$, do đó $x = -1$ là tiệm cận đứng duy nhất.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 2x + 2}{x – 1}$ có đồ thị $(C_4)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Ta có $y = \frac{x(x – 1) – (x – 1) + 1}{x – 1} = x – 1 + \frac{1}{x – 1}$.
• Mệnh đề a) Đúng vì $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \implies x = 1$ là tiệm cận đứng.
• Mệnh đề b) Đúng vì $\lim_{x \to \pm\infty} y = \pm\infty$ nên không có tiệm cận ngang.
• Mệnh đề c) Đúng vì $\lim_{x \to \pm\infty} [y – (x – 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x – 1} = 0$, suy ra $y = x – 1$ là tiệm cận xiên.
• Mệnh đề d) Sai vì tọa độ giao điểm giữa tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = x – 1$ là $I(1; 0)$, điểm này nằm trên trục hoành $Ox$, không nằm trên trục tung.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x – 1}$ có đồ thị $(C_5)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Mệnh đề a) Đúng: Vì $x^2 + 1 > 0, \forall x$ nên ĐK chỉ là $x – 1 \ne 0 \iff x \ne 1$.
• Mệnh đề b) Đúng: $\lim_{x \to 1^+} y = \frac{1 + \sqrt{2}}{0^+} = +\infty \implies x = 1$ là tiệm cận đứng.
• Mệnh đề c) Đúng: Khi $x \to -\infty$, ta nhân liên hợp tử số: $y = \frac{(x + \sqrt{x^2 + 1})(x – \sqrt{x^2 + 1})}{(x – 1)(x – \sqrt{x^2 + 1})} = \frac{-1}{(x – 1)(x – \sqrt{x^2 + 1})}$. Do đó $\lim_{x \to -\infty} y = 0 \implies y = 0$ là tiệm cận ngang khi $x \to -\infty$.
• Mệnh đề d) Sai: Khi $x \to +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + x\sqrt{
Để lại phản hồi