📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x} – x}{x – 1}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, các em học sinh đang ôn luyện khảo sát hàm số Toán 12 cần thực hiện theo các bước sau:
- Tìm tập xác định: Xác định điều kiện của biểu thức dưới dấu căn và mẫu thức.
- Tìm tiệm cận ngang (TCN): Tính các giới hạn vô cực $\lim_{x \to +\infty} y$ và $\lim_{x \to -\infty} y$. Nếu $\lim_{x \to \pm\infty} y = y_0$ thì đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang (lưu ý rút gọn nhân liên hợp khi có dạng vô định $\infty – \infty$ hoặc chú ý dấu căn $\sqrt{x^2} = |x|$).
- Tìm tiệm cận đứng (TCĐ): Tìm các điểm $x_0$ làm mẫu triệt tiêu nhưng thuộc biên của tập xác định. Nếu ít nhất một trong các giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} y$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} y$ là vô cực ($\pm\infty$) thì đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng. Tương tự như bài toán tìm tổng số đường tiệm cận có chứa căn thức, việc tính giới hạn chính xác là rất quan trọng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\begin{cases} x^2 + 2x \ge 0 \\ x – 1 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le -2 \text{ hoặc } x \ge 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$
Tập xác định: $D = (-\infty; -2] \cup [0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Bước 2: Tìm các đường tiệm cận ngang
• Xét khi $x \to +\infty$ (nhân lượng liên hợp ở tử số):
$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x} – x}{x – 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 2x) – x^2}{(x – 1)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}$$
$$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{(x – 1) \cdot x \left(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{(x – 1)\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1\right)} = 0$$
Do đó, đường thẳng $y = 0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phía bên phải).
• Xét khi $x \to -\infty$ (vì $x < 0$ nên $\sqrt{x^2} = |x| = -x$):
$$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2\left(1 + \frac{2}{x}\right)} – x}{x – 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} – x}{x – 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1\right)}{x\left(1 – \frac{1}{x}\right)}$$
$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1\right)}{1 – \frac{1}{x}} = \frac{-(1 + 1)}{1} = -2$$
Do đó, đường thẳng $y = -2$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phía bên trái).
Vậy đồ thị có $2$ đường tiệm cận ngang là $y = 0$ và $y = -2$.
Bước 3: Tìm các đường tiệm cận đứng
Xét điểm $x = 1 \in D$ (điểm biên làm mẫu bằng $0$):
Ta có $\lim_{x \to 1} (\sqrt{x^2 + 2x} – x) = \sqrt{3} – 1 > 0$ và $\lim_{x \to 1} (x – 1) = 0$.
Cụ thể: $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$.
Do đó, đường thẳng $x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Kết luận:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là $1 + 2 = 3$.
👉 Chọn đáp án: C
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
• Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x(1 – 2/x)} = 1 \Rightarrow y = 1$; $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x(1 – 2/x)} = -1 \Rightarrow y = -1$. Đồ thị có 2 TCN.
• Tiệm cận đứng: $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là 1 TCĐ.
Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2 + 1 = 3$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 2: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 – 1}}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• TXĐ: $D = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
• TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 1 \Rightarrow y = 1$; $\lim_{x \to -\infty} y = -1 \Rightarrow y = -1$. Có 2 TCN.
• TCĐ: Tại $x \to 1^+$, $\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{\sqrt{x – 1}\sqrt{x + 1}} = +\infty \Rightarrow x = 1$ là 1 TCĐ. Tại $x \to -1^-$, $\lim_{x \to -1^-} y = \lim_{x \to -1^-} \frac{-( -x – 1)}{\sqrt{-(x + 1)}\sqrt{1 – x}} = \lim_{x \to -1^-} -\sqrt{\frac{-x – 1}{1 – x}} = 0$, do đó $x = -1$ không phải là TCĐ.
Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2 + 1 = 3$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 3: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x – 1}}{x^2 – 4}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• TXĐ: $x \ge 1$ và $x^2 – 4 \ne 0 \iff x \in [1; 2) \cup (2; +\infty)$.
• TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang duy nhất (không xét $x \to -\infty$).
• TCĐ: Xét $x = 2$, $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là TCĐ (điểm $x = -2$ không thuộc TXĐ nên loại).
Tổng số đường tiệm cận là $1 + 1 = 2$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Để đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số $g(x) = x^2 – 2x + m = 0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt khác nghiệm của tử số ($x \ne -2$):
$$\begin{cases} \Delta’ = 1 – m > 0 \\ g(-2) = (-2)^2 – 2(-2) + m \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 1 \\ m + 8 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 1 \\ m \ne -8 \end{cases}$$
Vì $m$ nguyên và $m \in [-10; 10]$ nên $m \in \{-10; -9; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0\}$.
Có tất cả $10$ giá trị nguyên thỏa mãn.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x – 3}{\sqrt{x^2 – 3x + 2}}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• TXĐ: $x^2 – 3x + 2 > 0 \iff x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
• TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$; $\lim_{x \to -\infty} y = -2 \Rightarrow y = -2$. Có 2 TCN.
• TCĐ: $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty \Rightarrow x = 1$ là 1 TCĐ; $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là 1 TCĐ. Có 2 TCĐ.
Tổng số đường tiệm cận là $2 + 2 = 4$.
👉 Chọn đáp án: C
Để lại phản hồi