📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^3 + 3x + 2$ trên khoảng $(0; 2)$ bằng
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên khoảng $(a; b)$:
1. Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các nghiệm $x_i \in (a; b)$ thỏa mãn $f'(x_i) = 0$ hoặc làm cho $f'(x)$ không xác định.
2. Tính các giá trị $f(x_i)$ và giới hạn tại các đầu mút: $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ và $\lim\limits_{x \to b^-} f(x)$.
3. Lập bảng biến thiên trên khoảng $(a; b)$ và kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét hàm số $f(x) = -x^3 + 3x + 2$ trên khoảng $(0; 2)$:
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng
Ta có: $f'(x) = -3x^2 + 3$.
Giải phương trình $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.
Vì xét trên khoảng $(0; 2)$ nên chỉ nhận nghiệm $x = 1$.
Bước 2: Tính giá trị và xét giới hạn
– Tại $x = 1$: $f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = 4$.
– Giới hạn tại hai đầu mút:
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = -(2)^3 + 3(2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$$
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận
– Trên khoảng $(0; 1)$: $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến từ $2$ lên $4$.
– Trên khoảng $(1; 2)$: $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến từ $4$ xuống $0$.
Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 1$ và $\max\limits_{(0; 2)} f(x) = f(1) = 4$.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^3 + 12x$ trên khoảng $(0; 3)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = -3x^2 + 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in (0; 3)$).
$y(2) = -8 + 24 = 16$.
Khi $x \to 0^+ \Rightarrow y \to 0$; khi $x \to 3^- \Rightarrow y \to 9$.
Vậy $\max\limits_{(0; 3)} y = 16$ tại $x = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 5$ trên khoảng $(1; 4)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $y’ = 3x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in (1; 4)$.
Tại $x = 2$, $y(2) = 8 – 12 + 5 = 1$.
Khi $x \to 1^+ \Rightarrow y \to 3$; khi $x \to 4^- \Rightarrow y \to 21$.
Hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$ và đồng biến trên $(2; 4)$.
Do đó $\min\limits_{(1; 4)} y = y(2) = 1$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 3: Cho hàm số $f(x) = \frac{4}{x^2 + 2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-2; 2)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Với mọi $x \in (-2; 2)$, ta có $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 2 \ge 2$.
Suy ra $f(x) = \frac{4}{x^2 + 2} \le \frac{4}{2} = 2$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x = 0 \in (-2; 2)$.
Vậy $\max\limits_{(-2; 2)} f(x) = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{9}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Với $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương $x$ và $\frac{9}{x}$:
$$y = x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2 \cdot 3 = 6$$
Đẳng thức xảy ra khi $x = \frac{9}{x} \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3$ (vì $x > 0$).
Vậy $\min\limits_{(0; +\infty)} y = 6$.
👉 Chọn đáp án: D
Bài tập 5: Cho hàm số $f(x) = \frac{x^2 – x + 1}{x – 1}$ trên khoảng $(1; +\infty)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Biến đổi hàm số: $f(x) = \frac{x(x – 1) + 1}{x – 1} = x + \frac{1}{x – 1} = (x – 1) + \frac{1}{x – 1} + 1$.
Với $x > 1$, ta có $x – 1 > 0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
$$(x – 1) + \frac{1}{x – 1} \ge 2\sqrt{(x – 1) \cdot \frac{1}{x – 1}} = 2$$
Suy ra $f(x) \ge 2 + 1 = 3$.
Dấu bằng xảy ra khi $x – 1 = \frac{1}{x – 1} \Leftrightarrow (x – 1)^2 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \in (1; +\infty)$.
Vậy $\min\limits_{(1; +\infty)} f(x) = 3$.
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi