📌 Đề bài:
Cho hàm số $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$ xác định và liên tục trên đoạn $[-1; 3]$. Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$:
- Tính đạo hàm $f'(x)$.
- Tìm các điểm $x_1, x_2, \dots, x_n \in (a; b)$ tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
- Tính các giá trị $f(a), f(b)$ và $f(x_i)$ ($i = 1, 2, \dots, n$).
- Số lớn nhất trong các giá trị vừa tính là $\max_{[a; b]} f(x)$, số nhỏ nhất là $\min_{[a; b]} f(x)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính đạo hàm và xét mệnh đề a)
Ta có $f'(x) = (x^3 – 3x^2 + 2)’ = 3x^2 – 6x$.
Do đó mệnh đề a) ĐÚNG.
Bước 2: Tìm nghiệm của $f'(x) = 0$ và xét mệnh đề b)
$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 2 \end{aligned}\right.$$
Nhận thấy cả hai điểm $x = 0$ và $x = 2$ đều thuộc khoảng $(-1; 3)$, suy ra phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-1; 3]$.
Do đó mệnh đề b) SAI.
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút
- $f(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 + 2 = -1 – 3 + 2 = -2$.
- $f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2$.
- $f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = 8 – 12 + 2 = -2$.
- $f(3) = 3^3 – 3(3)^2 + 2 = 27 – 27 + 2 = 2$.
Bước 4: Xác định GTLN, GTNN và xét các mệnh đề c), d)
So sánh các giá trị tính được:
$$\max_{[-1; 3]} f(x) = 2 \quad \text{khi } x = 0 \text{ hoặc } x = 3$$
Do đó mệnh đề c) ĐÚNG.
$$\min_{[-1; 3]} f(x) = -2 \quad \text{khi } x = -1 \text{ hoặc } x = 2$$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại hai điểm là $x = -1$ và $x = 2$, không phải tại duy nhất một điểm.
Do đó mệnh đề d) SAI.
👉 Kết luận: a) ĐÚNG | b) SAI | c) ĐÚNG | d) SAI
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số $f(x) = -x^3 + 3x + 1$ trên đoạn $[0; 2]$. Xét tính đúng sai của khẳng định: “Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[0; 2]$ bằng $3$”.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $f'(x) = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Vì $x \in [0; 2]$ nên ta chọn $x = 1$.
Tính các giá trị: $f(0) = 1$, $f(1) = 3$, $f(2) = -8 + 6 + 1 = -1$.
Do đó $\max_{[0; 2]} f(x) = f(1) = 3$.
Đáp án: Khẳng định ĐÚNG.
Bài tập 2: Cho hàm số $f(x) = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 4]$. Xét tính đúng sai của khẳng định: “Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1; 4]$ bằng $9$”.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $f'(x) = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in [1; 4]$).
Tính các giá trị: $f(1) = 5$, $f(2) = 4$, $f(4) = 5$.
Suy ra $\max_{[1; 4]} f(x) = 5$ và $\min_{[1; 4]} f(x) = 4$. Tổng $\max + \min = 5 + 4 = 9$.
Đáp án: Khẳng định ĐÚNG.
Bài tập 3: Cho hàm số $f(x) = \sqrt{4 – x^2}$ trên đoạn $[-2; 2]$. Xét tính đúng sai của khẳng định: “Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ bằng $-2$”.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Với mọi $x \in [-2; 2]$, ta có $4 – x^2 \ge 0 \Rightarrow f(x) = \sqrt{4 – x^2} \ge 0$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = \pm 2$, tức là $f(-2) = f(2) = 0$.
Do đó $\min_{[-2; 2]} f(x) = 0$, không phải bằng $-2$.
Đáp án: Khẳng định SAI.
Bài tập 4: Cho hàm số $f(x) = x^4 – 4x^2 + 5$ trên đoạn $[0; 3]$. Xét tính đúng sai của khẳng định: “Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x = \sqrt{2}$”.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $f'(x) = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{2}$ (vì $x \in [0; 3]$).
Tính các giá trị: $f(0) = 5$, $f(\sqrt{2}) = (2)^2 – 4(2) + 5 = 1$, $f(3) = 81 – 36 + 5 = 50$.
Vậy $\min_{[0; 3]} f(x) = 1$, đạt tại $x = \sqrt{2}$.
Đáp án: Khẳng định ĐÚNG.
Bài tập 5: Cho hàm số $f(x) = \frac{x – 2}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 2]$. Xét tính đúng sai của khẳng định: “Giá trị lớn nhất của hàm số trên $[0; 2]$ bằng $0$”.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Hàm số xác định và liên tục trên $[0; 2]$.
Ta có $f'(x) = \frac{1 \cdot 1 – (-2) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \in [0; 2]$.
Do hàm số đồng biến trên $[0; 2]$ nên $\max_{[0; 2]} f(x) = f(2) = \frac{2 – 2}{2 + 1} = 0$.
Đáp án: Khẳng định ĐÚNG.
Để lại phản hồi