Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$ trên đoạn $[-1; 2]$

Hàm số liên tục trên $[0; 3]$ vì mẫu số $x + 1 \ne 0$ với mọi $x \in [0; 3]$.

Đạo hàm: $y’ = \frac{2(1) – (-1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \in [0; 3]$.

Do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn $[0; 3]$.

Suy ra $\max_{[0; 3]} y = y(3) = \frac{2(3) – 1}{3 + 1} = \frac{5}{4}$.

Đáp số: $\max_{[0; 3]} y = \frac{5}{4}$.

Hàm số xác định và liên tục trên $[1; 4]$.

Đạo hàm: $y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2}$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in [1; 4]$ nên nhận $x = 2$, loại $x = -2$).

Tính các giá trị: $y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5$; $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$; $y(4) = 4 + \frac{4}{4} = 5$.

Đáp số: $\min_{[1; 4]} y = 4$ tại $x = 2$.

Hàm số liên tục trên $[0; 2]$.

Đạo hàm: $f'(x) = -3x^2 + 3$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow -3(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (do xét trên $[0; 2]$ nên chỉ lấy $x = 1$).

Tính các giá trị:

$f(0) = 2$; $f(1) = -1 + 3 + 2 = 4$; $f(2) = -8 + 6 + 2 = 0$.

Đáp số: $\max_{[0; 2]} f(x) = 4$ (tại $x = 1$) và $\min_{[0; 2]} f(x) = 0$ (tại $x = 2$).

Tập xác định $[-2; 2]$, hàm số liên tục trên $[-1; 1]$.

Đạo hàm: $y’ = \frac{-2x}{2\sqrt{4 – x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 – x^2}}$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [-1; 1]$.

Tính các giá trị: $y(-1) = \sqrt{3}$; $y(0) = 2$; $y(1) = \sqrt{3}$.

Đáp số: $\max_{[-1; 1]} y = 2$ đạt tại $x = 0$.

Đạo hàm: $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2)$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{2}$ (nghiệm $x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414 \notin [-1; 3]$ nên loại).

Tính các giá trị tại các điểm:

• $y(-1) = 1 – 4 + 1 = -2$
• $y(0) = 1$
• $y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 – 4(\sqrt{2})^2 + 1 = 4 – 8 + 1 = -3$
• $y(3) = 3^4 – 4(3^2) + 1 = 81 – 36 + 1 = 46$

Suy ra $M = \max_{[-1; 3]} y = 46$ (tại $x = 3$) và $m = \min_{[-1; 3]} y = -3$ (tại $x = \sqrt{2}$).

Vậy $M + m = 46 + (-3) = 43$.

Đáp số: $M + m = 43$.