📌 Đề bài:
Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0; 2]$. Tính giá trị của biểu thức $P = M + 2m$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số liên tục $y = f(x)$ trên đoạn $[a; b]$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm tập xác định và kiểm tra tính liên tục của hàm số trên đoạn $[a; b]$.
- Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$. Tìm các điểm $x_1, x_2, \dots, x_k \in (a; b)$ mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
- Tính các giá trị: $f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_k)$.
- So sánh các giá trị tính được để kết luận:
$$M = \max_{[a; b]} f(x) = \max \{f(a), f(b), f(x_1), \dots, f(x_k)\}$$
$$m = \min_{[a; b]} f(x) = \min \{f(a), f(b), f(x_1), \dots, f(x_k)\}$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định và đạo hàm
Hàm số $y = f(x) = x^4 – 2x^2 + 3$ là hàm đa thức nên xác định và liên tục trên đoạn $[0; 2]$.
Đạo hàm của hàm số là:
$$y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x – 1)(x + 1)$$
Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình đạo hàm trên khoảng $(0; 2)$
Phương trình $y’ = 0 \iff \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 1 \\ x &= -1 \end{aligned}\right.$
Trong các nghiệm trên, chỉ có nghiệm $x = 1$ thuộc khoảng $(0; 2)$ (nghiệm $x = 0$ là đầu mút của đoạn, nghiệm $x = -1 \notin [0; 2]$ bị loại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cần xét
- Tại đầu mút $x = 0$: $f(0) = 0^4 – 2\cdot 0^2 + 3 = 3$.
- Tại điểm cực trị $x = 1$: $f(1) = 1^4 – 2\cdot 1^2 + 3 = 2$.
- Tại đầu mút $x = 2$: $f(2) = 2^4 – 2\cdot 2^2 + 3 = 16 – 8 + 3 = 11$.
Bước 4: So sánh và suy ra GTLN, GTNN
So sánh ba giá trị $f(0) = 3$, $f(1) = 2$, $f(2) = 11$, ta có:
$$M = \max_{[0; 2]} y = f(2) = 11$$
$$m = \min_{[0; 2]} y = f(1) = 2$$
Từ đó, giá trị của biểu thức $P$ là:
$$P = M + 2m = 11 + 2\cdot 2 = 15$$
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án B ($P = 15$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đạo hàm: $y’ = \frac{2(1) – (-1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \in [0; 3]$.
Hàm số đồng biến trên $[0; 3]$, suy ra:
– $\min_{[0; 3]} y = y(0) = \frac{-1}{1} = -1$.
– $\max_{[0; 3]} y = y(3) = \frac{2\cdot 3 – 1}{3 + 1} = \frac{5}{4}$.
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 4]$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Đạo hàm: $y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2}$.
Cho $y’ = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ (vì $x \in [1; 4]$).
Tính các giá trị: $y(1) = 5$, $y(2) = 4$, $y(4) = 5$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1; 4]$ là $\min_{[1; 4]} y = 4$ tại $x = 2$.
Bài tập 3: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x\sqrt{4 – x^2}$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $x\sqrt{4 – x^2} \le \frac{x^2 + (4 – x^2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Dấu “=” xảy ra khi $x^2 = 4 – x^2 \iff 2x^2 = 4 \iff x = \sqrt{2} \in [0; 2]$.
Vậy giá trị lớn nhất là $\max_{[0; 2]} f(x) = 2$ tại $x = \sqrt{2}$.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x – 2$. Tính tổng $S = M + m$ với $M, m$ lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tính các giá trị:
– $y(-2) = -(-8) + 3(-2) – 2 = 0$
– $y(-1) = -(-1) + 3(-1) – 2 = -4$
– $y(1) = -(1) + 3(1) – 2 = 0$
– $y(2) = -(8) + 3(2) – 2 = -4$
Do đó: $M = 0$ và $m = -4$.
Tổng $S = M + m = 0 + (-4) = -4$.
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = \cos^2 x + 2\sin x – 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Đặt $t = \sin x$, với $x \in \mathbb{R} \implies t \in [-1; 1]$.
Xét hàm số $g(t) = -t^2 + 2t$ trên đoạn $[-1; 1]$:
$g'(t) = -2t + 2 = 0 \iff t = 1 \in [-1; 1]$.
Các giá trị: $g(-1) = -3$, $g(1) = 1$.
Vậy $M = \max y = 1$ khi $\sin x = 1$.
Để lại phản hồi