Cho hàm số $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x – 1}$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$

Xét mệnh đề a):

Điều kiện xác định của hàm số là $x \ne 1$. Do đó tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Vì $1 \notin [2; 4]$ nên hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[2; 4]$.

$\Rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG.

Xét mệnh đề b):

Áp dụng công thức đạo hàm hàm phân thức $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$ với $u = x^2 + 3$ và $v = x – 1$:

$$f'(x) = \dfrac{(2x)(x – 1) – (x^2 + 3)(1)}{(x – 1)^2} = \dfrac{2x^2 – 2x – x^2 – 3}{(x – 1)^2} = \dfrac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}$$

$\Rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG.

Xét mệnh đề c) và d):

Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1 \notin [2; 4] \\ &x = 3 \in [2; 4] \end{aligned}\right.$

Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và điểm dừng $x = 3$:

• $f(2) = \dfrac{2^2 + 3}{2 – 1} = \dfrac{7}{1} = 7$
• $f(3) = \dfrac{3^2 + 3}{3 – 1} = \dfrac{12}{2} = 6$
• $f(4) = \dfrac{4^2 + 3}{4 – 1} = \dfrac{19}{3} \approx 6{,}33$

So sánh ba giá trị trên, ta có:

$$\min_{[2; 4]} f(x) = f(3) = 6$$

$$\max_{[2; 4]} f(x) = f(2) = 7$$

Do đó:

– Mệnh đề c) phát biểu: “Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $m = 6$, đạt được tại $x = 3$” là ĐÚNG.

– Mệnh đề d) phát biểu: “Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $M = \dfrac{19}{3}$” là SAI (vì giá trị lớn nhất chính xác là $M = 7$).

👉 Kết luận: a) ĐÚNG | b) ĐÚNG | c) ĐÚNG | d) SAI