📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x^2 – 3x + 2}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số để biết các khoảng vô cực và các điểm biên cần tính giới hạn.
- Bước 2: Tìm tiệm cận ngang (TCN) bằng cách tính giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$. Nếu $\lim_{x \to +\infty} y = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} y = y_0$ thì đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang.
- Bước 3: Tìm tiệm cận đứng (TCĐ) bằng cách xét giới hạn tại các điểm $x_0$ làm cho mẫu số bằng $0$ (hoặc điểm kỳ dị trên tập xác định). Nếu ít nhất một trong các giới hạn một bên $\lim_{x \to x_0^+} y$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} y$ bằng $\pm\infty$ thì đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng.
Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán cũng như bộ đề ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán 12.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
1. Tập xác định:
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} x^2 – 1 \ge 0 \\ x^2 – 3x + 2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \\ x \ne 1, x \ne 2 \end{cases}$$
Do đó, tập xác định là $D = (-\infty; -1] \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. Tìm tiệm cận ngang:
Ta tính giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x^2 – 3x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{x^2\left(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x^2 – 3x + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{x^2\left(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = 0$$
Do đó, đồ thị hàm số có đúng $1$ đường tiệm cận ngang là $y = 0$.
3. Tìm tiệm cận đứng:
Ta xét tại các điểm làm triệt tiêu mẫu số là $x = 1$ và $x = 2$:
- Tại $x = 2$: Ta có $\lim_{x \to 2^+} \sqrt{x^2 – 1} = \sqrt{3} > 0$ và $\lim_{x \to 2^+} (x – 1)(x – 2) = 0^+$ nên:
$$\lim_{x \to 2^+} y = +\infty$$
Do đó, đường thẳng $x = 2$ là một tiệm cận đứng. - Tại $x = 1$: Do hàm số chỉ xác định với $x > 1$ (ở lân cận phải của $1$), ta xét giới hạn bên phải:
$$\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x – 1}\sqrt{x + 1}}{(x – 1)(x – 2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x – 1}(x – 2)}$$
Khi $x \to 1^+$, tử số tiến tới $\sqrt{2} > 0$, trong khi mẫu số tiến tới $0^+ \cdot (1 – 2) = 0^-$. Vì vậy:
$$\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$$
Do đó, đường thẳng $x = 1$ cũng là một tiệm cận đứng.
4. Kết luận: Đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận ngang ($y = 0$) và $2$ tiệm cận đứng ($x = 1, x = 2$). Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là $1 + 2 = 3$.
👉 Chọn đáp án: C
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 4} – 2}{x^2 – x}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• TXĐ: $x \ge -4, x \ne 0, x \ne 1$.
• Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to +\infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN ($1$ TCN).
• Tiệm cận đứng: Ta có $\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x – 1)(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x – 1)(\sqrt{x + 4} + 2)} = -\frac{1}{4} \ne \pm\infty \Rightarrow x = 0$ không phải TCĐ.
• Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \pm\infty \Rightarrow x = 1$ là TCĐ.
Tổng số đường tiệm cận là $1 + 1 = 2$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{9 – x^2}}{x^2 – 4x + 3}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• TXĐ: $9 – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-3; 3]$ và mẫu $x^2 – 4x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1, x \ne 3$. Do đó $D = [-3; 3) \setminus \{1\}$.
• Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \pm\infty$ vì mẫu tiến về $0$ và tử tiến về $\sqrt{8} \ne 0 \Rightarrow x = 1$ là TCĐ.
• Tại $x = 3$: $\lim_{x \to 3^-} y = \lim_{x \to 3^-} \frac{\sqrt{3 – x}\sqrt{3 + x}}{(x – 1)(x – 3)} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-\sqrt{3 + x}}{(x – 1)\sqrt{3 – x}} = -\infty \Rightarrow x = 3$ là TCĐ.
Vậy đồ thị có $2$ đường tiệm cận đứng ($x = 1, x = 3$).
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 3: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 2}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
• Tiệm cận ngang:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 2} = 1 \Rightarrow y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 2} = -1 \Rightarrow y = -1$$
Đồ thị có $2$ tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = -1$.
• Tiệm cận đứng: $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là $1$ tiệm cận đứng.
Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2 + 1 = 3$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4x + 3}}$. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• TXĐ: $x^2 – 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
• Tiệm cận ngang:
$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 – \frac{1}{x}}{\sqrt{1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}} = 2 \Rightarrow y = 2$$
$$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 – \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}} = -2 \Rightarrow y = -2$$
Có $2$ đường tiệm cận ngang.
• Tiệm cận đứng:
$$\lim_{x \to 1^-} y = \frac{1}{0^+} = +\infty \Rightarrow x = 1$$
$$\lim_{x \to 3^+} y = \frac{5}{0^+} = +\infty \Rightarrow x = 3$$
Có $2$ đường tiệm cận đứng.
Tổng số đường tiệm cận là $2 + 2 = 4$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 5: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 1}{x^2 – 3x + 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Rút gọn biểu thức hàm số với $x \ne 1$ và $x \ne 2$:
$$y = \frac{(x – 1)(x + 1)}{(x – 1)(x – 2)} = \frac{x + 1}{x – 2}$$
• Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \frac{1 + 1}{1 – 2} = -2 \ne \pm\infty \Rightarrow x = 1$ không phải tiệm cận đứng.
• Tại $x = 2$: $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng duy nhất.
Bạn đọc có thể tham khảo thêm dạng bài tiệm cận chứa căn thức nâng cao để củng cố kỹ năng giải.
👉 Chọn đáp án: B
Để lại phản hồi