📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x – 1 – \sqrt{x^2 + 3}}{x^2 – 4x + 3}$. Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dạng phân thức chứa căn bậc hai, học sinh cần nắm vững các bước sau:
- Tập xác định: Biểu thức dưới dấu căn bậc hai không âm và mẫu số khác $0$.
- Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.
- Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$.
- Đối với bài toán phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$, điểm $x_0$ làm cho mẫu $Q(x_0) = 0$ và tử $P(x_0) \neq 0$ chắc chắn sinh ra một tiệm cận đứng $x = x_0$. Có thể tham khảo thêm các dạng toán chứa căn tương tự tại bài viết Tìm tổng số đường tiệm cận của hàm phân thức chứa căn thức.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét mệnh đề a):
Điều kiện xác định của hàm số là:
$$\begin{cases} x^2 + 3 \ge 0 \quad (\text{luôn đúng } \forall x \in \mathbb{R}) \\ x^2 – 4x + 3 \ne 0 \iff \begin{cases} x \ne 1 \\ x \ne 3 \end{cases} \end{cases}$$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1; 3\}$. Do đó, mệnh đề a) ĐÚNG.
Xét mệnh đề b):
Tính giới hạn của hàm số khi $x \to +\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x – 1 – \sqrt{x^2 + 3}}{x^2 – 4x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(2 – \frac{1}{x} – \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}\right)}{x^2\left(1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 – \frac{1}{x} – \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = 0 \cdot \frac{2 – 0 – 1}{1 – 0 + 0} = 0$$
Do đó đường thẳng $y = 0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x \to +\infty$. Do đó, mệnh đề b) ĐÚNG.
Xét mệnh đề c):
Tại điểm $x = 1$, thay vào tử số ta được: $2(1) – 1 – \sqrt{1^2 + 3} = 1 – 2 = -1 \ne 0$. Mẫu số bằng $0$.
Vì vậy $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$ và $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \infty$, suy ra $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tại điểm $x = 3$, thay vào tử số ta được: $2(3) – 1 – \sqrt{3^2 + 3} = 5 – \sqrt{12} = 5 – 2\sqrt{3} \ne 0$. Mẫu số bằng $0$.
Vì vậy $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \infty$ và $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \infty$, suy ra $x = 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Như vậy, đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và $x = 3$. Do đó, mệnh đề c) SAI.
Xét mệnh đề d):
Ta xét thêm giới hạn khi $x \to -\infty$:
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x – 1 – |x|\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{x^2 – 4x + 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(2 + \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}\right) – 1}{x^2\left(1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 + \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} – \frac{1}{x}}{1 – \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = 0$$
Vậy đồ thị hàm số có duy nhất $1$ tiệm cận ngang là $y = 0$ và có $2$ tiệm cận đứng là $x = 1, x = 3$. Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là $1 + 2 = 3$. Do đó, mệnh đề d) ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Các bài tập dưới đây giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét tiệm cận cho các dạng hàm số nâng cao thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia, hỗ trợ tốt cho việc xét tiệm cận chứa dấu căn.
Bài tập 1: Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 1}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $f(x) = \dfrac{(x – 1)(x – 2)}{(x – 1)(x + 1)} = \dfrac{x – 2}{x + 1}$ với $x \ne 1$.
– TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$ $\Rightarrow$ a) Đúng.
– $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang $\Rightarrow$ b) Đúng.
– Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1 – 2}{1 + 1} = -\dfrac{1}{2}$ (hữu hạn) nên $x = 1$ không phải tiệm cận đứng. Tại $x = -1$: $\lim_{x \to -1} f(x) = \infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng duy nhất $\Rightarrow$ c) Sai.
– Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1 + 1 = 2$ $\Rightarrow$ d) Đúng.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 2: Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + \sqrt{x^2 – 1}}{x – 2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– TXĐ: $x^2 – 1 \ge 0 \iff x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ và $x \ne 2$ $\Rightarrow$ a) Đúng.
– Khi $x \to +\infty$: $f(x) = \dfrac{x + x\sqrt{1 – 1/x^2}}{x(1 – 2/x)} = \dfrac{1 + \sqrt{1 – 1/x^2}}{1 – 2/x} \to 2 \Rightarrow y = 2$ là TCN $\Rightarrow$ b) Đúng.
– Khi $x \to -\infty$: $f(x) = \dfrac{x – x\sqrt{1 – 1/x^2}}{x(1 – 2/x)} = \dfrac{1 – \sqrt{1 – 1/x^2}}{1 – 2/x} \to 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN $\Rightarrow$ c) Đúng.
– Tại $x = 2 \in D$: tử số $2 + \sqrt{3} \ne 0$, mẫu số bằng $0$ nên $x = 2$ là đường tiệm cận đứng duy nhất $\Rightarrow$ d) Đúng.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{\sqrt{4 – x^2}}{x^2 – 3x}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Điều kiện: $4 – x^2 \ge 0 \iff -2 \le x \le 2$. Mẫu số: $x^2 – 3x = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 3$ (loại $x = 3$ vì không thuộc $[-2; 2]$). Vậy $D = [-2; 2] \setminus \{0\}$ $\Rightarrow$ a) Đúng.
– Vì tập xác định là đoạn bị chặn $[-2; 2] \setminus \{0\}$, không chứa $+\infty$ hay $-\infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang $\Rightarrow$ b) Sai.
– Điểm $x = 3$ không thuộc tập xác định và không phải điểm tụ của $D$ nên $x = 3$ không thể là tiệm cận đứng $\Rightarrow$ c) Sai.
– Tại $x = 0$: tử số $\sqrt{4} = 2 \ne 0$, mẫu số bằng $0$ nên $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng duy nhất $\Rightarrow$ d) Đúng.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{3x – 1}{\sqrt{x^2 + 1} – 2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Mẫu số bằng $0 \iff \sqrt{x^2 + 1} = 2 \iff x^2 + 1 = 4 \iff x = \pm\sqrt{3}$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}$ $\Rightarrow$ a) Đúng.
– Khi $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3 – 1/x}{\sqrt{1 + 1/x^2} – 2/x} = 3 \Rightarrow y = 3$ là TCN $\Rightarrow$ b) Đúng.
– Khi $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3 – 1/x}{-\sqrt{1 + 1/x^2} – 2/x} = -3 \Rightarrow y = -3$ là TCN $\Rightarrow$ c) Đúng.
– Tại $x = \sqrt{3}$ và $x = -\sqrt{3}$, tử số lần lượt là $3\sqrt{3}-1 \ne 0$ và $-3\sqrt{3}-1 \ne 0$, nên cả hai đường thẳng $x = \sqrt{3}$ và $x = -\sqrt{3}$ đều là tiệm cận đứng. Do đó đồ thị có $2$ tiệm cận đứng $\Rightarrow$ d) Sai.
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 – 4x + 3}}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Để lại phản hồi