Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng $54$m và chiều dài $76$m

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng $54$m và chiều dài $76$m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng $18$m. Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án: 2808

Lời giải: Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện tích của hai phần trồng hoa.
Diện tích của hình chữ nhật là: $S=54 \times 76 = 4104$.
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Phương trình parabol bên dưới có dạng: $y=a{{x}^{2}}+b$ (vì đỉnh parabol thuộc trục tung).
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} y\left( 0 \right)=18 \\ y\left( 27 \right)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=18 \\ a.27^{2}+b=0 \end{array} \right.$.
Giải phương trình, ta tìm được $a=-\dfrac{2}{81}$, $b=18$.
Phương trình Parabol dưới là $y=-\dfrac{2}{81}{{x}^{2}}+18$.
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng:$S_1=2\int\limits_{0}^{27} \left( -\dfrac{2}{81}{{x}^{2}}+18 \right)dx = 648$ m$^{2}$.
Diện tích của phần sân chơi là: $4104 – 2.648 = 2808$ m$^{2}$.