Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài $5$ m, có bán kính đáy $1$ m

Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài $5$ m, có bán kính đáy $1$ m. Chiều cao của mực nhiên liệu là $1{,}5$ m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn vị $\mathrm{m}^3$, làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần trục).

Đáp án: 12,6

Lời giải: Thể tích của cả bể nhiên liệu là $V=B\cdot h=5\pi \left(\mathrm{m}^3 \right)$.
Gọi $V_1$ là thể tích phần trống nhiên liệu trong bể.
Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.

Ta có diện tích phần tô đậm là
$\begin{array}{l} S = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\left(\sqrt{1-x^2}-\dfrac{1}{2} \right)\mathrm{d}x\\ = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x-2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{d}x\\ = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{3}}\sqrt{1-\sin^2t} \cos t \mathrm{d}t-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ = 2\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{3}} \cos^2t \mathrm{d}t-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ = 2\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}. \end{array}$
Vậy thể tích phần trống trong bể là $V_1=\displaystyle\int\limits_0^5\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)\mathrm{d}x=\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)\cdot 5$.
Vậy thể tích phần nhiên liệu trong bồn là \begin{align*}
V_2=V-V_1=5\pi-\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)5\approx 12{,}6 (\mathrm{m}^3).
\end{align*}