Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5$ m

Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5$ m. Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết $100$ nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó $AB=6$ m. Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (đơn vị nghìn đồng, làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 7445

Lời giải:

Diện tích miếng tôn hình tròn là $S_1=\pi \cdot R^2=25 \pi\left(\mathrm{m}^2\right)$.
Xét hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.
Phương trình của đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $5$ là $x^2+y^2=25$.
Phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn là $y=\sqrt{25-x^2},A B=6 \Rightarrow y_A=3 \Rightarrow x_A=4.$ Vậy diện tích phần tấm tôn trống là $S_2=2 \cdot \displaystyle\int\limits_4^5 \sqrt{25-x^2} \mathrm{d}x\left(\mathrm{m}^2\right)$.
Diện tích phần tấm tôn trang trí là $S=S_1-S_2=25 \pi-2 \cdot \displaystyle\int\limits_4^5 \sqrt{25-x^2} \mathrm{d}x\left(\mathrm{m}^2\right).$
Vậy số tiền chi phí là $T=100\cdot\left(25 \pi-2 \cdot \displaystyle\int\limits_{4}^{5} \sqrt{25-x^2}\mathrm{d}x\right) \approx 7445\text{ (nghìn đồng)}.$