Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b + c +d\)

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố.
Tính \(a + b + c +d\)

A. \(13\).

B. \(10\).

C. \(20\).

D. \(18\).

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên là:

\({x^2}\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên là:

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2}\ln x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {{x^2}\ln x{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra: \(S = \left. {\left( {\frac{{{x^3}\ln x}}{3}} \right)} \right|_1^2 – \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \frac{{8\ln 2}}{3} – \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^2 = \frac{{8\ln 2}}{3} – \frac{7}{9} = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}} \Rightarrow a + b + c + d = 20.\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.