Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\), biết

\(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị \(\int\limits_{ – 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\), biết

\(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị \(\int\limits_{ – 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là

A. \( – 90\) .

B. \(\frac{{233}}{9}\).

C. \(\frac{{1034}}{9}\).

D. \(\frac{{334}}{9}\) .

Lời giải:

Gọi \(y = g\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\).

+) Trên đoạn \(\left[ { – 5;1} \right]\) là parabol có dạng \(g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) và cắt trục hoàng tại -3 và -1 nên \(g\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) cắt trục tung tại \(y = 3 \Rightarrow a = 1\) suy ra \(g\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3,\,\,x \in \left[ { – 5\,;\,1} \right]\).

+) Trên đoạn \(\left[ {1;8} \right]\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {1\,;\,8} \right)\,\,,\,\,B\left( {4\,;\,0} \right)\) nên \(g\left( x \right) = – \frac{8}{3}x + \frac{{32}}{3}\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 3\,,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ { – 5\,;\,1} \right]\\ – \frac{8}{3}x + \frac{{32}}{3}\,,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {1;8} \right]\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x + {C_1}\,,\,\,\,\,\,x \in \left[ { – 5\,;\,1} \right]\\ – \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{32}}{3}x + {C_2}\,,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {1;8} \right]\end{array} \right.\)

Do hàm số liên tục trên \(\left[ { – 5;8} \right]\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow {C_1} – {C_2} = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt khác \(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3} \Leftrightarrow {C_1} + {C_2} = 4\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta được \({C_1} = 3,{C_2} = 1\) . vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x + 3\,,\,\,\,\,\,x \in \left[ { – 5\,;\,1} \right]\\ – \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{32}}{3}x + 1\,,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {1;8} \right]\end{array} \right.\)

+) \(\int\limits_{ – 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 5}^1 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x + 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^8 {\left( { – \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{32}}{3}x + 1} \right){\rm{d}}x} = – 90 + \frac{{1043}}{9} = \frac{{233}}{9}\)

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.