Đề bài: Chứng minh rằng phương trình: $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $(-7,9)$ Lời giải Đặt $t = \sqrt[3]{1-x}$Khi đó phương trình có dạng : $2t^3 -6t +1 =0$.Xét hàm số $f(t) = 2t^3 -6t +1$ liên tục trên $R$.Ta có : $f(-2) = -3, f(0) = 1, f(1) = -3, f(2) = 5$,suy ra : * $f(-2).f(0) = -3 $t_1 = \sqrt[3]{1-x} \Rightarrow x_1 = 1 - t^3_1$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng phương trình: $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $(-7,9)$
Bài tập Hàm số
Đề: Xem hàm số: $y = \sqrt{a+cos x}+\sqrt{a+sin x} $. Trong đó $a \ge 0$.1) Với $a = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số.2) Tính đạo hàm $y’$ của hàm số đã cho.3) Tìm ${y^2}$, từ đó suy ra rằng hàm số $y$ đạt giá trị lớn nhất khi: $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$
Đề bài: Xem hàm số: $y = \sqrt{a+cos x}+\sqrt{a+sin x} $. Trong đó $a \ge 0$.1) Với $a = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số.2) Tính đạo hàm $y’$ của hàm số đã cho.3) Tìm ${y^2}$, từ đó suy ra rằng hàm số $y$ đạt giá trị lớn nhất khi: $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$ Lời giải $1)$ Với $a = 0$ ta có $y = \sqrt {c{\rm{osx}}} + \sqrt {{\mathop{\rm … [Đọc thêm...] vềĐề: Xem hàm số: $y = \sqrt{a+cos x}+\sqrt{a+sin x} $. Trong đó $a \ge 0$.1) Với $a = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số.2) Tính đạo hàm $y’$ của hàm số đã cho.3) Tìm ${y^2}$, từ đó suy ra rằng hàm số $y$ đạt giá trị lớn nhất khi: $x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi (k \in Z)$
Đề: Cho hàm số $f(x) = \frac{4}{3}{x^3} – 2(1 – \sin a){x^2} + (1 + \cos2a)x + 1$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2 $ thảo mãn điều kiện: $x_1^2 + x_2^2 = 1$
Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \frac{4}{3}{x^3} - 2(1 - \sin a){x^2} + (1 + \cos2a)x + 1$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2 $ thảo mãn điều kiện: $x_1^2 + x_2^2 = 1$ Lời giải Hàm số có CĐ, CT \( \Leftrightarrow f'(x) = 4{x^2} - 4(1 - \sin a)x + (1 + c{\rm{os}}2a) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4{(1 - \sin a)^2} - 4(1 + \cos2a) > … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $f(x) = \frac{4}{3}{x^3} – 2(1 – \sin a){x^2} + (1 + \cos2a)x + 1$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2 $ thảo mãn điều kiện: $x_1^2 + x_2^2 = 1$
Đề: a) Tùy theo các giá trị khác nhau của $m$, hãy lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$b) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $x + m = m\sqrt {{x^2} + 1} $
Đề bài: a) Tùy theo các giá trị khác nhau của $m$, hãy lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$b) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $x + m = m\sqrt {{x^2} + 1} $ Lời giải a) Hàm số xác định với mọi $x$. Ta có: $y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - (x + m)x/\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 1}} = \frac{{1 - mx}}{{{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề: a) Tùy theo các giá trị khác nhau của $m$, hãy lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$b) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $x + m = m\sqrt {{x^2} + 1} $
Đề: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + 2x\cos \alpha + 1}}{{x + 2\sin \alpha }}$1) Xác định tiệm cận xiên và tâm đối xứng của đồ thị.2) Tìm $\alpha $ để hàm số có cực đại và cực tiểu.3) Tìm $\alpha $ để từ gốc tọa độ có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến phân biệt.Khi đó gọi $({x_1},{y_1}),({x_2},{y_2})$ là các tọa độ các tiếp điểm: chứng tỏ rằng ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$
Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + 2x\cos \alpha + 1}}{{x + 2\sin \alpha }}$1) Xác định tiệm cận xiên và tâm đối xứng của đồ thị.2) Tìm $\alpha $ để hàm số có cực đại và cực tiểu.3) Tìm $\alpha $ để từ gốc tọa độ có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến phân biệt.Khi đó gọi $({x_1},{y_1}),({x_2},{y_2})$ là các tọa độ các tiếp điểm: chứng tỏ rằng ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + 2x\cos \alpha + 1}}{{x + 2\sin \alpha }}$1) Xác định tiệm cận xiên và tâm đối xứng của đồ thị.2) Tìm $\alpha $ để hàm số có cực đại và cực tiểu.3) Tìm $\alpha $ để từ gốc tọa độ có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến phân biệt.Khi đó gọi $({x_1},{y_1}),({x_2},{y_2})$ là các tọa độ các tiếp điểm: chứng tỏ rằng ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$
Đề: Cho $ m \in N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $f(x) = \int\limits_{1}^{x}t^m.e^{2t} -2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} +\frac{x^{m+2}}{m+2} \right ) , x\geq 1$
Đề bài: Cho $ m \in N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $f(x) = \int\limits_{1}^{x}t^m.e^{2t} -2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} +\frac{x^{m+2}}{m+2} \right ) , x\geq 1$ Lời giải Xét $ g(x) = e^{2x} - 2 (x^2 +x), x\geq 0$ $ g'(x) = 2e^{2x} - 2 (2x + 1) = 2 (e^{2x} -2x-1)$ $ g''(x) = 2 (2e^{2x} -2 ) = 4 (e^{2x}-1) \geq 0, \forall x \geq 0 $$\Rightarrow g' $ tăng trên … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $ m \in N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $f(x) = \int\limits_{1}^{x}t^m.e^{2t} -2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} +\frac{x^{m+2}}{m+2} \right ) , x\geq 1$
Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x - 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x - 2} \right| - \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$ Lời giải $1/$ Hàm số xác định trên đoạn $\left[ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
Đề: Cho hình chóp tam giác $S.ABC, SA = x, BC = y$, các cạnh còn lại đều bằng $1$.$1$. Tính thể tích hình chóp theo $x, y.$$2.$ Với $x, y$ nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?
Đề bài: Cho hình chóp tam giác $S.ABC, SA = x, BC = y$, các cạnh còn lại đều bằng $1$.$1$. Tính thể tích hình chóp theo $x, y.$$2.$ Với $x, y$ nào thì thể tích hình chóp lớn nhất? Lời giải $1.$ Gọi $M$ và $N$ là trung điểm $SA$ và $BC$.Do giả thiết, $\Delta ABC$ và $CAS$ cân ở $B$ và $C$ nên $BM \bot SA, CM\bot SA\Rightarrow SA\bot(BMC),$ hình chóp có thể … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hình chóp tam giác $S.ABC, SA = x, BC = y$, các cạnh còn lại đều bằng $1$.$1$. Tính thể tích hình chóp theo $x, y.$$2.$ Với $x, y$ nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?
Đề: Cho hàm số $y=\frac{ax^2+3ax+2a+1}{x+2} $ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = – 1$.2) Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi $a$.3) Với giá trị nào của $a$ thì đồ thị của (1) tiếp xúc với đường thẳng $y = a$
Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{ax^2+3ax+2a+1}{x+2} $ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = - 1$.2) Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi $a$.3) Với giá trị nào của $a$ thì đồ thị của (1) tiếp xúc với đường thẳng $y = a$ Lời giải Viết lại hàm số đã cho dưới dạng: $y = {{ax + a + }}\frac{{{1}}}{{x + … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y=\frac{ax^2+3ax+2a+1}{x+2} $ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = – 1$.2) Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi $a$.3) Với giá trị nào của $a$ thì đồ thị của (1) tiếp xúc với đường thẳng $y = a$
Đề: Chứng minh rằng: $ – arctanx + arctan\frac{{1 + x}}{{1 – x}} = \frac{\pi }{4}$ với $\forall x \in ( – \infty ;1)$
Đề bài: Chứng minh rằng: $ - arctanx + arctan\frac{{1 + x}}{{1 - x}} = \frac{\pi }{4}$ với $\forall x \in ( - \infty ;1)$ Lời giải Xét hàm $f(x) = - {\rm{ar}}ctan + {\rm{ar}}ctan\frac{{1 + x}}{{1 - x}}$ trong khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, ta có:$\begin{array}{l}f'(x) = - \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng: $ – arctanx + arctan\frac{{1 + x}}{{1 – x}} = \frac{\pi }{4}$ với $\forall x \in ( – \infty ;1)$