Đề: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + 2x\cos \alpha  + 1}}{{x + 2\sin \alpha }}$1) Xác định tiệm cận xiên và tâm đối xứng của đồ thị.2) Tìm $\alpha $ để hàm số có cực đại và cực tiểu.3) Tìm $\alpha $ để từ gốc tọa độ có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến phân biệt.Khi đó gọi $({x_1},{y_1}),({x_2},{y_2})$ là các tọa độ các tiếp điểm: chứng tỏ rằng ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$

Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + 2x\cos \alpha  + 1}}{{x + 2\sin \alpha }}$1) Xác định tiệm cận xiên và tâm đối xứng của đồ thị.2) Tìm $\alpha $ để hàm số có cực đại và cực tiểu.3) Tìm $\alpha $ để từ gốc tọa độ có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến phân biệt.Khi đó gọi $({x_1},{y_1}),({x_2},{y_2})$ là các tọa độ các tiếp điểm: chứng tỏ rằng ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$

Lời giải

$1)$ $y = x + 2(c{\rm{os}}\alpha  – \sin \alpha ) + \frac{{1 + 4\sin \alpha (\sin \alpha  – c{\rm{os}}\alpha )}}{{x + 2\sin \alpha }}$
Đồ thị hàm số $y$ có tiệm cận đứng $x =  – 2\sin \alpha $, tiệm cận xiên $y = x + 2(c{\rm{os}}\alpha  – \sin \alpha )$. Ta đã biết tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận $ \Rightarrow $ tọa độ của tâm là $x =  – 2\sin \alpha ,{\rm{ y = }}2\cos \alpha – 4\sin \alpha $.

$2)$ $y’ = 1 – \frac{{1 + 4\sin \alpha (\sin \alpha  – c{\rm{os}}\alpha )}}{{{{(x + 2\sin \alpha )}^2}}}$
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow {(x + 2\sin \alpha )^2} = 1 + 4\sin \alpha (\sin \alpha  – c{\rm{os}}\alpha )$ có 2 nghiệm phân biệt.
$ \Leftrightarrow \Delta ‘ = 4{\sin ^2}\alpha  – 4{\sin ^2}\alpha  + 1 + 4\sin \alpha (\sin \alpha  – c{\rm{os}}\alpha )$
$ = 1 + 4\sin \alpha (\sin \alpha  – c{\rm{os}}\alpha ) > 0$                        $(1)$
Vì     $1 + 4{\sin ^2}\alpha  – 4\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha = 3 – 2(c{\rm{os}}2\alpha  + \sin 2\alpha )$$ = 3 – 2\sqrt 2 c{\rm{os}}(2\alpha  – \pi /4)$
Nên $(1)$ luôn được nghiệm đúng. Do đó với mọi $\alpha $ hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.

$3)$ Phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ có dạng $y = kx$.
Để $y = kx$ tiếp xúc đồ thị hàm số thì phương trình :  $\frac{{{x^2} + 2x\cos \alpha  + 1}}{{x + 2\sin \alpha }} = kx$ có nghiệm kép
Hay $(1 – k){x^2} + 2x(c{\rm{os}}\alpha  – k\sin \alpha ) + 1 = 0$ có nghiệm kép, $ \Leftrightarrow k \ne 1$,
$\Delta ‘ = {(c{\rm{os}}\alpha  – k\sin \alpha )^2} – (1 – k) = {k^2}{\sin ^2}\alpha  + (1 – 2\sin \alpha )k – {\sin ^2}\alpha  = 0$
Điều kiện để phương trình này có $2$ nghiệm phân biệt ${k_1},{k_2}$ là $\sin \alpha  \ne 0,{\rm{ 1}} – \sin 2\alpha  \ne 0$ (vì $c = – {\sin ^2}\alpha  $\alpha  \ne \pi /4 + k\pi {\rm{         (k}} \in {\rm{Z)}}$.
Với điều kiện đó, để ý đến:  ${k_1}{k_2} = – {\sin ^2}\alpha /{\sin ^2}\alpha = – 1$
và nếu $({x_1},{y_1}),{\rm{ (}}{x_2},{y_2})$ là tọa độ các tiếp điểm thì ta có:
${y_1} = {k_1}{x_1},{\rm{ }}{{\rm{y}}_2} = {k_2}{x_2}{\rm{ }} \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = {x_1}{x_2}(1 + {k_1}{k_2}) = 0$