Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x – 1}}$1)    Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và trên $\left( {1; + \infty } \right)$.2)    Tìm $m$ để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 (diện tích đơn vị).3)    Tìm $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm $A, B$ , $OA \bot OB$.4)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m = 1$

Đề bài: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x – 1}}$1)    Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và trên $\left( {1; + \infty } \right)$.2)    Tìm $m$ để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 (diện tích đơn vị).3)    Tìm $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm $A, B$ , $OA \bot OB$.4)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m = 1$

Lời giải

Viết lại hàm số dưới dạng:  $y = x + m + 1 + \frac{m}{{x – 1}}$

$1)$    Hàm số xác định với mọi $x \ne 1$. Ta có
$y’ = 1 – \frac{m}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2} – m}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$, $\left( {1; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi:
$y’ \ge 0,\forall x \ne 1 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – m \ge 0,\forall x \ne 1 \Leftrightarrow m \le 0$

$2)$    Phương trình tiệm cận xiên: $y = x + m + 1$.
Gọi $P$ và $Q$ là giao điểm của tiệm cận xiên với hai trục tọa độ ${{Ox  và   Oy}}$ ta có $y_P{\rm{ =  0 }} \Rightarrow x_P = – \left( {m – 1} \right),{x_Q} = 0 \Rightarrow {y_Q} = m + 1$.
Từ đó
${S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {OP} \right|.\left| {OQ} \right| = \frac{1}{2}{\left( {m + 1} \right)^2} = 8$
     $ \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = {4^2} \Rightarrow m = 3,m = – 5.$

$3)$    Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ $ \Rightarrow {x_A},{x_B}$ là hai nghiệm phân biệt $ \ne 1$ của phương trình
$\frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x – 1}} = m \Leftrightarrow {x^2} = 1 – m \Rightarrow m Gọi ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của $OA,OB \Rightarrow {k_1} = \frac{m}{{{x_A}}},{k_2} = \frac{m}{{{x_B}}}.$
Do $OA \bot OB$ nên  $ – 1 = {k_1}{k_2} = \frac{m}{{{x_A}}}.\frac{m}{{{x_B}}} = \frac{{{m^2}}}{{{x_A}{x_B}}} = \frac{{{m^2}}}{{m – 1}}$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {m^2} + m – 1 = 0\\
 \Leftrightarrow m = \left( { – 1 \pm \sqrt 5 } \right)/2
\end{array}$
(đều thỏa mãn $(1)$).

$4)$    Dành cho bạn đọc.