Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^3+4x^2-2x-2}{-x^2+2x+5}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $ab$.

Bài toán gốc

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^3+4x^2-2x-2}{-x^2+2x+5}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $ab$.

A. $16$.

B. $15$.

C. $19$.

D. $14$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+…}{{{a}_{2}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{2}}{{x}^{n-2}}+…}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=-2x-8$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ $y=P(x)/Q(x)$ trong trường hợp bậc của tử số $P(x)$ lớn hơn bậc của mẫu số $Q(x)$ đúng 1 đơn vị (deg(P) = deg(Q) + 1). Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng phép chia đa thức hoặc tính toán giới hạn để xác định các hệ số $a$ và $b$ của đường tiệm cận $y=ax+b$.

Bài toán tương tự

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^3+5x^2+1}{x^2-x+2}$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tính $a+b$.

A. $5$.

B. $11$.

C. $8$.

D. $13$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Ta tính hệ số $a$ và $b$ theo công thức:
$a = \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3+5x^2+1}{x(x^2-x+2)} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3}{x^3} = 3$.
$b = \lim_{x\to\infty} [f(x) – ax] = \lim_{x\to\infty} [\dfrac{3x^3+5x^2+1}{x^2-x+2} – 3x]$.
Thực hiện phép trừ:
$f(x) – 3x = \dfrac{3x^3+5x^2+1 – 3x(x^2-x+2)}{x^2-x+2} = \dfrac{3x^3+5x^2+1 – 3x^3+3x^2-6x}{x^2-x+2} = \dfrac{8x^2-6x+1}{x^2-x+2}$.
$b = \lim_{x\to\infty} \dfrac{8x^2-6x+1}{x^2-x+2} = 8$.
Vậy TCX là $y=3x+8$. Ta có $a=3$ và $b=8$.
Giá trị cần tính là $a+b = 3+8 = 11$.