Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^2-x+2}{(-2m-4)x+4}$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng có phương trình $y=2x-6$

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^2-x+2}{(-2m-4)x+4}$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng có phương trình $y=2x-6$. Tính $m$.

A. $-1$.

B. $-3$.

C. $-4$.

D. $-5$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng trên nên $\dfrac{a_1}{a_2}=-\dfrac{1}{2}$.
Suy ra $\dfrac{-2}{-2m-4}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow m=-4$.
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc khi $a.a^{\prime}=-1$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm tham số dựa trên điều kiện hình học của tiệm cận xiên (TCM) của hàm phân thức bậc hai chia bậc nhất $y=\dfrac{A x^2+Bx+C}{Dx+E}$. Phương pháp giải là xác định hệ số góc $a$ của TCM, với $a=\dfrac{A}{D}$. Sau đó, áp dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc: tích hai hệ số góc bằng $-1$ ($a_1 \cdot a_2 = -1$) để thiết lập và giải phương trình tìm $m$.

Bài toán tương tự

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+5x-1}{(2m-1)x+2}$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng có phương trình $y=3x+1$. Tính $m$. A. $m=0$. B. $m=1$. C. $m=2$. D. $m=3$. Đáp án đúng: A. $m=0$. Lời giải ngắn gọn: Hệ số góc của TCM là $a = \dfrac{3}{2m-1}$. Hệ số góc của đường thẳng $y=3x+1$ là $a’=3$. Điều kiện vuông góc: $a \cdot a’ = -1$. Ta có $\dfrac{3}{2m-1} \cdot 3 = -1 \Leftrightarrow \dfrac{9}{2m-1} = -1 \Leftrightarrow 9 = -(2m-1) \Leftrightarrow 9 = -2m+1 \Leftrightarrow 2m = 1-9 \Leftrightarrow 2m = -8 \Leftrightarrow m = -4$. (Lưu ý: Nếu ta thay đổi đáp án để đáp án đúng là $m=0$ như trong phần đáp án đã ghi, ta cần chọn hệ số góc $a’$ là $-9$. Giả sử ta sửa lại đề bài để phù hợp với đáp án A là $m=0$). Đề bài sửa đổi: Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+5x-1}{(2m-1)x+2}$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng có phương trình $y=-9x+1$. Tính $m$. A. $m=0$. B. $m=1$. C. $m=2$. D. $m=3$. Đáp án đúng: A. $m=0$. Lời giải ngắn gọn: Hệ số góc của TCM là $a = \dfrac{3}{2m-1}$. Hệ số góc của đường thẳng $y=-9x+1$ là $a’=-9$. Điều kiện vuông góc: $a \cdot a’ = -1$. Ta có $\dfrac{3}{2m-1} \cdot (-9) = -1 \Leftrightarrow \dfrac{-27}{2m-1} = -1 \Leftrightarrow 27 = 2m-1 \Leftrightarrow 2m = 28 \Leftrightarrow m = 14$. (Cần điều chỉnh lại mốc đáp án cho phù hợp với cách tính). Ta chọn đáp án là $m=14$. Tuy nhiên, để tạo bài toán trắc nghiệm đơn giản, ta tính lại $m$ sao cho rơi vào mốc A, B, C, D. Ví dụ, ta chọn $m=0$, thì $\dfrac{3}{2(0)-1} \cdot a’ = -1 \Leftrightarrow -3a’ = -1 \Leftrightarrow a’ = \dfrac{1}{3}$. Đề bài cuối cùng: Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+5x-1}{(2m-1)x+2}$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng có phương trình $y=\dfrac{1}{3}x-5$. Tính $m$. A. $m=0$. B. $m=1$. C. $m=2$. D. $m=3$. Đáp án đúng: A. $m=0$. Lời giải ngắn gọn: Hệ số góc của TCM là $a = \dfrac{3}{2m-1}$. Hệ số góc của đường thẳng $y=\dfrac{1}{3}x-5$ là $a’=\dfrac{1}{3}$. Điều kiện vuông góc: $a \cdot a’ = -1$. Ta có $\dfrac{3}{2m-1} \cdot \dfrac{1}{3} = -1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2m-1} = -1 \Leftrightarrow 1 = -(2m-1) \Leftrightarrow 1 = -2m+1 \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0$.