Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^3-2x^2+4x-3}{x^2+4x+4}$ là đường thẳng có phương trình $y=(-m+1)x-n+1$

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^3-2x^2+4x-3}{x^2+4x+4}$ là đường thẳng có phương trình $y=(-m+1)x-n+1$. Tính $m+n$.

A. $10$.

B. $13$.

C. $11$.

D. $9$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+…}{{{a}_{2}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{2}}{{x}^{n-2}}+…}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=2x-10$.
Suy ra $\left\{\begin{array}{l} -m+1=2 \\ -n+1=-10 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m=-1 \\ n=11 \end{array}\right.$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm phương trình tiệm cận xiên (T.C.X) của đồ thị hàm số hữu tỉ $y = P(x)/Q(x)$ khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị. Phương pháp giải là thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng công thức tính hệ số $a$ và $b$ của T.C.X $y = ax + b$ thông qua giới hạn. Sau khi tìm được phương trình T.C.X, tiến hành đồng nhất hệ số với phương trình tham số đã cho để giải hệ phương trình tìm ra các biến $m, n$ và tính tổng theo yêu cầu.

Bài toán tương tự

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^3+5x^2-x+1}{x^2-x+2}$ là đường thẳng có phương trình $y=(k-4)x+p+5$. Tính $k+p$.

A. 8.

B. 10.

C. 12.

D. 15.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn:

Phương trình tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$.

Tính $a = \lim_{x\to\infty} \dfrac{y}{x} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3}{x^3} = 3$.

Tính $b = \lim_{x\to\infty} (y – ax) = \lim_{x\to\infty} \left( \dfrac{3x^3+5x^2-x+1}{x^2-x+2} – 3x \right)$.

$b = \lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^3+5x^2-x+1 – 3x(x^2-x+2)}{x^2-x+2} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{8x^2 – 7x + 1}{x^2-x+2} = 8$.

Phương trình T.C.X là $y=3x+8$.

Đồng nhất hệ số với $y=(k-4)x+p+5$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l} k-4=3 \\ p+5=8 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} k=7 \\ p=3 \end{array}\right.$.

Vậy $k+p = 7+3 = 10$.